МАТЕМАТИКА

УДК 517. 57

К. Л. Аветисян

О дробном интегродифференцировании в классах гармонических
функций на полупространстве со смешанной нормой

(Представлено академиком Н.У. Аракеляном 30/VIII 2001)

   1. Пусть Rn - n-мерное евклидово пространство, и пусть x = (x1,..., xn) О Rn, |x|2 = x12 + ј + xn2, dx = dx1 ј dxn. Обозначим через верхнее полупространство пространства Rn+1, т.е.= Rn × (0, Ґ). Точки этого полупространства будем представлять как (x,y) = (x1,..., xn, y), x О Rn, y > 0. Иногда удобно будет обозначать x0 = y.
   Для измеримой в функции f(x,y) положим

Mp(f; y) = ||f||Lp(Rn, dx),       y > 0,   0 < p Ј Ґ.

Пространство Харди hp() в верхнем полупространстве состоит из всех (комплекснозначных) гармонических функций u(x,y) в , для которых

||u||hp =
sup
y > 0 
 Mp(u;y) < +Ґ.

Введем  в  рассмотрение  следующее  квазинормированное  пространство L(p,q,a) (0 < p, q Ј Ґ, a > 0) со смешанной нормой, состоящее из тех измеримых в функций f(x,y), для которых конечна квазинорма (норма при 1 Ј p,q Ј Ґ)

||f||p,q,a = м
п
п
н
п
п
о
ж
и 		у
х 		+Ґ

0 
 yaq-1Mpq(f; y) dy ц
ш 		1/q
 
 ,
0 < q < Ґ,

ess sup
y > 0 
   yaMp(f; y),
q = Ґ.

Через h(p,q,a) обозначим гармоническое подпространство в L(p,q,a). Вопрос о дробном интегродифференцировании в пространствах со смешанной нормой был поднят Харди и Литтлвудом [1], [2] и может быть сформулирован следующим образом: как ограниченно действует оператор дробного интегродифференцирования в пространствах h(p,q,a)? Этот вопрос детально изучался Флеттом [3], [4], особенно для голоморфных функций в единичном круге (см. также работу автора [5], в которой были дополнены результаты Флетта). В полупространстве тема дробного интегродифференцирования изучалась в гораздо меньшей степени. Отметим работы М. Тейблсона [6], Т. Флетта [7], Буй Хюи Ки [8], А. Э. Джрбашяна [9].
   2. Для функции f(x,y), измеримой и комплекснозначной в , введем в рассмотрение оператор дробного интегродифференцирования Римана-Лиувилля (называемый также потенциалом Рисса):
D-af(x,y) = 1
G(a)
 у
х 		+Ґ

0 
 sa-1f(x,y + s)ds,
D0 f = f,   Daf(x,y) = (-1)mD-(m-a) m
ym
 f(x,y),

где a > 0, а m- целое, m - 1 < a Ј m. Если T - ограниченный оператор, отображающий пространство X в Y, т.e. ||Tf||Y Ј C||f||X,  "f О X, то будем писать T : X ® Y. Нижеследующая теорема описывает действие оператора дробного дифференцирования в классах Харди hp. Ее доказательство следует из одного неравенства типа Литтлвуда-Пэли (см. [10]).
   Теорема 1. Пусть a > 0, 2 Ј q Ј Ґ и 1 < p Ј q Ј Ґ. Тогда

Da : hp ® h(p,q,a),
Da : hp ® h(p0,q,a + n/p - n/p0),
1 < p < p0 Ј Ґ.
   Действие дробного оператора D-a в пространствах h(p,q,a) описано в следующей таблице.
   Теорема 2. Пусть 0 < p,q Ј Ґ, a > 0 - произвольные числа. Тогда
D-b : h(p,q,a) ® h(p,q,a - b),
-Ґ < b < a, 0 < p,q Ј Ґ,
D-b : h(p,q,a) ® hp,
b = a, 0 < p < Ґ, 0 < q Ј min
 {2,p},
D-b : h(p,q,a) ® hp0,
a < b < a + n/p, 0 < p < Ґ, q Ј p0,
D-b : h(p,q,a)  ® h(p0,q0),
a < b < a + n/p, 1 Ј p < Ґ,
0 < q Ј q0 Ј Ґ, 1 < q0 Ј Ґ,
D-b : h(p,q,a) ® B,
b = a + n/p, p = Ґ, 0 < q Ј Ґ,
D-b : h(p,q,a) ® BMOh,
b = a + n/p, 0 < p < Ґ, 0 < q Ј Ґ,
D-b : h(p,q,a) ® hҐ,
b = a + n/p, 0 < p Ј Ґ, 0 < q Ј 1,

где p0 = [n/(a + n/p - b)]; h(p,q) обозначает гармоническое пространство Лоренца (см. [11], [8]); B - гармоническое пространство Блоха; BMOh - пространство гармонических в функций с граничными значениями из BMO(Rn).
   Для функции u(x,y), гармонической в и удовлетворяющей условию

u(x,y) = O ж
з
и 		1
yd
 ц
ч
ш 		,   y ® +Ґ,   d > 0,
преобразования Рисса определяются как
uj(x,y) = (Rju)(x,y) = - у
х 		+Ґ

y 
 u(x,h)
xj
 dh,      1 Ј j Ј n.
Вектор-функция F = (u0, u1, ..., un),  u = u0, является системой Рисса сопряженных гармонических функций (см., например, [11]), т.е. функции uj удовлетворяют обобщенным уравнениям Коши-Римана [11]
n
е
j=0 
 uj
xj
 = 0,       uj
xk
 = uk
xj
 ,      0 Ј j,k Ј n.
 (1)

Эти уравнения равносильны существованию гармонической в функции f такой, что F = Сf. Заметим, что в случае n = 1 уравнения (1) переходят в обычные уравнения Коши-Римана. При этом функция F = u0 + iu1 голоморфна относительно переменной z = x1 + ix0.
   В следующей теореме устанавливается ограниченность оператора гармонического сопряжения (т.е. преобразований Рисса Rj) в пространствах h(p,q,a) при всех допустимых 0 < p,q Ј Ґ, и, тем самым, обобщаются аналогичные утверждения из [9], [12].
   Теорема 3. Пусть 0 < p, q Ј Ґ, a > 0, u є u0 О h(p,q,a). Если F = (u0, u1,..., un) является системой сопряженных гармонических функций, то
(i)   ||F||p,q,a Ј C||u||p,q,a.
(ii)   Условие    yaMp(u;y) = o(1) при y ® +0  (y ® +Ґ) равносильно условию

yaMp(F;y) = o(1)   при   y ® +0   (соотв.   y ® +Ґ).

   В качестве следствия получаем, что преобразования Рисса ограниченны также в пространствах Блоха B.
   3. Основная сложность при доказательстве теорем 2 и 3 возникает при малых p. Это объясняется тем, что при p < (n - 1)/n функция |Сf|p (где f гармонична) не обязана быть субгармонической, а функция Mp(f;y) - монотонной по y > 0. Применяя известное разложение Уитни в , мы доказываем для h(p,p,a), 0 < p < Ґ максимальную теорему типа Харди-Литтлвуда, которая позволяет преодолеть указанные трудности.
   Теорема 4. Пусть 0 < p < Ґ, a > 0,  u(x,y) О h(p,p,a). Тогда максимальная функция

u*(x,y) = sup
 м
н
о 		|u(x,h)|; |x - x|2 + (h - y)2 Ј y2/4 ь
э
ю 		,      x О Rn, y > 0
удовлетворяет неравенству
||u*||p,p,a Ј C(a,p,n)||u||p,p,a .

   4. В качестве приложений к теоремам 1-3 дадим характеризацию классов h(p,q,a) через интегральные представления с использованием пространств Бесова на Rn. Пусть 1 Ј p,q Ј Ґ, a > 0 и f(x) - измеримая функция на Rn. Полунорма Бесова определяется как

||f||Lap,q = м
п
п
н
п
п
о
ж
з
и 		у
хRn 		|t|-n-aq||Dtk f(x)||qLp(dx) dt ц
ч
ш 		1/q

 
 ,
1 Ј q < Ґ,

sup
|t| > 0 
 |t|-a||Dtk f(x)||Lp(dx),
q = Ґ,
где Dt1 f(x) = f(x + t) - f(x) и Dtk f(x) = Dt1Dtk-1f(x); k - целое число, k > a. Существует пригодное для всех q, 0 < q Ј Ґ эквивалентное определение (см. [6])
||f||Lap,q = ||Dk v||p,q,k-a,
где v = v(x,y) - интеграл Пуассона функции f на .
   Теорема 5. Пусть заданы любые числа 1 Ј p < Ґ, 0 < q Ј Ґ, a > 0. Тогда:
(i) Пространство h(p,q,a) совпадает с множеством функций u(x,y), представимых в виде
u(x,y) = у
хRn 		DbP(x - t,y) j(t)dt,      x О Rn,  y > 0,
 (2)
где b  (a < b < a + n/p) - произвольное, и

j(t) О

 (3)
Вместе с тем, нормы ||u||p,q,a и ||j||эквивалентны.
(ii) Функция j из (2)-(3) выражается через следующую формулу обращения
j(x) =
lim
y®+0 
 D-b u(x,y),      п. в.   x О Rn.
 (4)

(iii) Пространство h(p,q,a) совпадает с множеством функций u(x,y), представимых в виде (2), где b  (a < b Ј a + n/p) - произвольное, и

j(t) О

Вместе с тем, нормы ||u||p,q,a и ||j||эквивалентны, и имеет место формула обращения (4).
   Аналогичные представления в случае единичного круга установлены в [5].
   Замечание. Связь между пространствами Бесова и весовыми классами Aa* Неванлинны-Джрбашяна [13], [14] функций, голоморфных в единичном круге, установлена Ф. Шамояном [15], [16].
   В заключение приведем более простое интегральное представление для пространства h(2,2,a).
   Теорема 6. Пространство h(2,2,a)  (a > 0) совпадает с множеством функций u(x,y), представимых в виде
u(x,y) = у
хRn 		DaP(x - t,y)  j(t) dt,      x О Rn,   y > 0,
где j(t) О L2(Rn). Кроме того, функция j может быть выведена из следующей формулы обращения
j(x) =
lim
y®+0 
 D-au(x,y),      п. в.   x О Rn.

   Доказательство следует из равенства h(2,2,a) = Da(h2) (см. теоремы 1 и 2).
   Соответствующее представление для функций, голоморфных в единичном круге, было установлено М.М. Джрбашяном [14].

   Ереванский государственный университет
   Институт математики НАН РА

Литература

     1. Hardy G. H., Littlewood J. E.  - Math. Zeit. 1932. V. 34, p. 403-439.
     2. Hardy G. H., Littlewood J. E.  - Quart. J. Math. (Oxford). 1941. V. 12. p. 221-256.
     3. Flett T. M.  - Proc. London Math. Soc. 1970. V. 20. p. 249-275.
     4. Flett T. M.  - J. Math. Anal. Appl. 1972. V. 39. p. 125-158.
     5. Аветисян К. Л.  - ДНАН Армении. 1999. Т. 99. N. 4. с. 301-305.
     6. Taibleson M.  - J. Math. Mech. 1964. V. 13. p. 407-479.
     7. Flett T. M.  - Proc. London Math. Soc. 1970. V. 20. p. 749-768.
     8. Bui Huy Qui  - Hiroshima Math. J. 1979. V. 9. p. 245-295.
     9. Джрбашян А. Э.  - Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1987. Т. 22. N. 4. С. 386-398.
     10. Аветисян К. Л.  - ДНАН Армении. 2001. Т. 101. N. 1. С. 20-23.
     11. Стейн И., Вейс Г.  Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, Мир, М. 1973.
     12. Аветисян К. Л.  - ДНАН Армении. 2001. Т. 101. N. 3. С. 211-215.
     13. Джрбашян M. M.  - ДАН АрмССР. 1945. Т. 3. N. 1. С. 3-9.
     14. Джрбашян M. M.  - Сообщ. Ин-та математики и механики АН Арм ССР. 1948. Вып. 2. С. 3-40.
     15. Шамоян Ф. А.  - ДАН АрмССР. 1990. Т. 90. N. 3. С. 99-103.
     16. Шамоян Ф. А.  - Мат. заметки. 1992. Т. 52. N. 1. С. 128-140.