Reports-2001-Vol101-N3-Areshian

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

УДК 621.313.322.01

Академик Г.Л. Арешян

Система дифференциальных уравнений автономного синхронного
генератора, представленная через потокосцепления

(Представлено 15/V 2001)

    Построение решений дифференциальных уравнений автономно работающего синхронного генератора (СГ) при набросе нагрузки в [1] производилось на основе уравнений, записанных через напряжения и токи. С точки зрения объема и скорости вычислений на компьютерах, а также точности расчетов переходных процессов определенный интерес представляет построение решений системы дифференциальных уравнений СГ, записанной через напряжения и потокoсцепления, а не через токи. В настоящей статье получена такая система операторных уравнений для приращений потокосцеплений для случая наброса дополнительной нагрузки Z₂= pL₂+ r₂ на автономно работающий с нагрузкой Z₁= pL₁+ r₁ синхронный генератор.
    Эту систему получим на основе системы, записанной через напряжения и токи [1]:
              для цепей СГ

-U_d= r_si_d+ dY_d
dt
+ w₀Y_q;        -U_q= r_si_q+ dY_q
dt
- w₀Y_d;

U_f= r_fi_f+ dY_f
dt
;   0 = r_Di_D+ dY_D
dt
;    0 = r_Qi_Q+ dY_Q
dt
;
ь
п
п
э
п
п
ю
(1)
              для цепей нагрузки Z₁ и Z₂

U_d= r₁i_d1+ dY_d1
dt
+ w₀Y_q1;        U_q= r₁i_q1+ dY_q1
dt
- w₀Y_d1;

U_d= r₂i_d2+ dY_d2
dt
+ w₀Y_q2;        U_q= r₂i_q2+ dY_q2
dt
- w₀Y_d2,
ь
п
п
э
п
п
ю
(2)
где потокосцепления равны

Y_d=L_di_d+M_di_f+M_di_D;

Y_q=L_qi_q+M_qi_Q;

Y_f=L_fi_f+M_di_d+M_di_D;

Y_D=L_Di_D+M_di_d+M_di_f;

Y_Q=L_Qi_Q+M_qi_q;

Y_d1=L₁i_d1; Y_q1=L₁i_q1;

Y_d2=L₂i_d2;

Y_q2=L₂i_q2
ь
п
п
э
п
п
ю
(3)
На основе (3) получаем

i_d= Y_d
L₁₁
- Y_f
L₂₁
- Y_D
L₃₁
;

i_f= - Y_d
L₁₂
+ Y_f
L₂₂
- Y_D
L₃₂
;

i_D= - Y_d
L₁₃
- Y_f
L₂₃
+ Y_D
L₃₃
;

i_q= Y_q
L₄₄
- Y_Q
L₅₄
;  i_Q= - Y_q
L₄₅
+ Y_Q
L₅₅
;

i_d1= Y_d1
L₁
;    i_q1= Y_q1
L₁
;

i_d2= Y_d2
L₂
;    i_q2= Y_q2
L₂
,
ь
п
п
п
п
э
п
п
п
п
ю
(4)
где обозначено

L₁₁= D
A₁₁
;

L₂₁= D
A₂₁
;

L₃₁= D
A₃₁
;

L₁₂= D
A₁₂
;

L₂₂= D
A₂₂
;

L₃₂= D
A₃₂
;

L₁₃= D
A₁₃
;

L₂₃= D
A₂₃
;

L₃₃= D
A₃₃
;
ь
п
п
э
п
п
ю
(5)

D=L_dL_fL_D+2M_d³-L_fM_d²-L_DM_d²-L_dM_d²
(6)

A₁₁=L_fL_Ds_fD;

A₁₂=L_DM_ds_D;

A₁₃=L_fM_ds_f;

A₂₁=A₁₂;

A₂₂=L_dL_Ds_dD;

A₂₃=L_dM_ds_d;

A₃₁=A₁₃;

A₃₂=A₂₃;

A₃₃=L_dL_fs_df;
ь
п
э
п
ю
(7)

L₄₄=s_qQL_q;   L₅₅=s_qQL_Q;   L₄₅=L₅₄=s_qQL_qL_QM_q^-1.
(8)
    В свою очередь коэффициенты рассеяния равны

s_df=1-M_d²L_d^-1L_f^-1;   s_dD=1-M_d²L_d^-1L_D^-1;   s_fD=1-M_d²L_f^-1L_D^-1;

s_qQ=1-M_q²L_q^-1L_Q^-1;   s_d=1-M_dL_d^-1;   s_f=1-M_dL_f^-1;   s_D=1-M_dL_D^-1.
ь
э
ю
(9)

    Подставляя выражения токов по уравнению (4) в системы (1) и (2), получаем основные выражения через потокосцепления:
              для генератора

dY_d
dt
= -U_d-w_sdY_d-w₀Y_q+w_sfY_f+w_sDY_D;

dY_q
dt
= -U_q+w₀Y_d-w_sqY_q+w_sQY_Q;

dY_f
dt
= U_f+w_fdY_d-w_ffY_f+w_fDY_D;

dY_D
dt
= w_DdY_d+w_DfY_f-w_DDY_D;

dY_Q
dt
= w_QqY_q-w_QQY_Q;
ь
п
п
п
п
п
п
п
э
п
п
п
п
п
п
п
ю
(10)
              для нагрузки Z₁

dY_d1
dt
= U_d - w₁Y_d1 - w₀Y_q1;    dY_q1
dt
= U_q+ w₀Y_d1- w₂Y_q1;
(11)
              для нагрузки Z₂

dY_d2
dt
= U_d - w₂Y_d2 - w₀Y_q2;    dY_q2
dt
= U_q+ w₀Y_d2- w₂Y_q2.
(12)
    Частоты, входящие в уравнения, равны

w_sd=r_sL₁₁^-1;

w_sf=r_sL₂₁^-1;

w_sD=r_sL₃₁^-1;

w_sq=r_sL₄₄^-1;

w_sQ=r_sL₅₄^-1;

w_fd=r_fL₁₂^-1;

w_ff=r_fL₂₂^-1;

w_fD=r_fL₃₂^-1;

w_Dd=r_DL₁₃^-1;

w_Df=r_DL₂₃^-1;

w_DD=r_DL₃₃^-1;

w_Qq=r_QL₄₅^-1;

w_QQ=r_QL₅₅^-1;

w₁=r₁L₁^-1;

w₂=r₂L₂^-1.
ь
п
п
п
э
п
п
п
ю
(13)

Представим систему уравнений (10)-(12) в операторном виде для приращений напряжений и потокосцеплений. Приращения определяем относительно многомерной точки

U_d⁰, U_q⁰, U_f⁰, Y_d⁰, Y_q⁰, Y_f⁰, Y_D⁰, Y_Q⁰, Y_d1⁰, Y_q1⁰, Y_d2⁰, Y_q2⁰

(14)

в виде

U_j(t) = U_j⁰+DU_j(t),

Y_i(t) = Y_i⁰+DY_i(t),

(j = d, q, f;

i = d, q, f, D, Q, d1, q1, d2, q2).

ь
э
ю

(15)

Обозначив преобразование Лапласа приращений той же буквой (без D)

L{DU_j(t)}=U_j(p); L{DY_i(t)}=Y_i(p),

получаем следующую систему операторных уравнений:
для цепей генератора

(p+w_sd)Y_d+w₀Y_q-w_sfY_f-w_sDY_D=-U_d+p^-1B_d⁰;

-w₀Y_d+(p+w_sq)Y_q-w_sQY_Q=-U_q+p^-1B_q⁰;

-w_fdY_d+(p+w_ff)Y_f-w_fDY_D=U_f+p^-1B_f⁰;

-w_DdY_d-w_DfY_f+(p+w_DD)Y_D=p^-1B_D⁰;

-w_QqY_q+(p+w_QQ)Y_Q=p^-1B_Q⁰;

ь
п
п
п
э
п
п
п
ю

(16)

для нагрузки Z₁

(p+w₁)Y_d1+ w₀Y_q1= U_d+ p^-1B_d1⁰; -w₀Y_d1+ (p+w₁)Y_q1= U_q+ p^-1B_q1⁰;

(17)

для нагрузки Z₂

(p+w₂)Y_d2+ w₀Y_q2= U_d+ p^-1B_d2⁰; -w₀Y_d2+ (p+w₂)Y_q2= U_q+ p^-1B_q2⁰.

(18)

Постоянные начальных значений в уравнениях (16)-(18) равны

B_d⁰=-U_d⁰-w_sdY_d⁰-w₀Y_q⁰+w_sfY_f⁰+w_sDY_D⁰;

B_q⁰=-U_q⁰+w₀Y_d⁰-w_sqY_q⁰+w_sQY_Q⁰;

B_f⁰=U_f⁰+w_fdY_d⁰-w_ffY_f⁰+w_fDY_D⁰;

B_D⁰=w_DdY_d⁰+w_DfY_f⁰-w_DDY_D⁰;

B_Q⁰=w_QqY_q⁰-w_QQY_Q⁰;

B_d1⁰=U_d⁰-w₁Y_d1⁰-w₀Y_q1⁰;

B_q1⁰=U_q⁰+w₀Y_d1⁰-w₁Y_q1⁰;

B_d2⁰=U_d⁰-w₂Y_d2⁰-w₀Y_q2⁰;

B_q2⁰=U_q⁰+w₀Y_d2⁰-w₂Y_q2⁰.

ь
п
п
п
п
п
п
э
п
п
п
п
п
п
ю

(19)

Преобразуем систему (16), исключив вначале Y_D и Y_Q, а потом Y_f,

Y_D=

w_Dd

p+w_DD

Y_d+

w_Df

p+w_DD

Y_f+

B_D⁰

p(p+w_DD)

;

Y_Q=

w_Qq

p+w_QQ

Y_q+

B_Q⁰

p(p+w_QQ)

ь
п
п
э
п
п
ю

(20)

Подставив эти выражение в уравнение (16), получаем

(p+wў_sd)Y_d+w₀Y_q-wў_sfY_f= -U_d+Bў_d;

-w₀Y_d+(p+wў_sq)Y_q= -U_q+Bў_q;

-wў_fdY_d+(p+wў_ff)Y_f= U_f+Bў_f.

ь
п
э
п
ю

(21)

В уравнении (21) одним верхним штрихом обозначены переходные операторные частоты, которые равны

w_sd^ў(p) = w_sd -

w_sDw_Dd

p+w_DD

;

w_fd^ў(p) = w_fd+

w_fDw_Dd

p+w_DD

;

w_sf^ў(p) = w_sf+

w_sDw_Df

p+w_DD

;

w_ff^ў(p) = w_ff -

w_fDw_Df

p+w_DD

;

w_sq^ў(p) = w_sq -

w_sQw_Qq

p+w_QQ

ь
п
п
п
п
э
п
п
п
п
ю

(22)

Переходные операторные выражения начальных значений в уравнении (21) равны

B_d^ў(p) =

B_d⁰

w_sD

p(p+w_DD)

· B_D⁰;

B_q^ў(p) =

B_q⁰

w_sQ

p(p+w_QQ)

· B_Q⁰;

B_f^ў(p) =

B_f⁰

w_fD

p(p+w_DD)

· B_D⁰.

ь
п
п
э
п
п
ю

(23)

Используя последнее уравнение системы (21), имеем

Y_f=

w_fd^ў

p+w_ff^ў

Y_d+

U_f

p+w_ff^ў

B_f^ў

p+w_ff^ў

(24)

Подставляем (24) в первое уравнение системы (21). Получаем совместно со вторым уравнением

(p+w_sd^ўў)Y_d+ w₀Y_q = -U_d+U_f^ў+B_d^ўў;

-w₀Y_d+ (p+w_sq^ў)Y_q= -U_q+B_q^ў,

ь
э
ю

(25)

где сверхпереходная операторная частота равна

w_sd^ўў(p) = w_sd^ў-

w_sf^ўw_fd^ў

p+w_ff^ў

(26)

Сверхпереходное операторное выражение начальных значений равно

B_d^ўў(p) = B_d^ў+

w_sf^ў

p+w_ff^ў

·B_f^ў.

(27)

Переходное операторное приращение напряжения возбуждения равно

U_f^ў(p) =

w_sf^ў

p+w_ff^ў

· U_f(p).

(28)

    При исключении потокосцеплений Y_D, Y_Q и Y_f уравнения для цепей нагрузок не меняются и остаются в виде уравнений (17) и (18).
    Для решения системы (17), (18) и (25) необходимо получить еще уравнения, связывающие Y_d с Y_d1 и Y_d2, а также Y_q с Y_q1 и Y_q2.
    Когда СГ начинает работать с двумя нагрузками, имеем условия для токов генератора и нагрузок

i_d(t) = i_d1(t) + i_d2(t); i_q(t) = i_q1(t) + i_q2(t).
(29)

Записывая эти уравнения через потокосцепления, переходя к приращениям, исключая Y_d, Y_f Y_Q, получаем еще два уравнения:

Y_d

L₁₁^ўў

Y_d1

L₁

Y_d2

L₂

= C_d^ўў+

L₂₁^ў

U_f

p+w_ff^ў

;

Y_q

L₄₄^ў

Y_q1

L₁

Y₂

L₂

= C_q^ў,

(30)

где обозначено

C_d⁰= -

Y_d⁰

L₁₁

Y_f⁰

L₂₁

Y_D⁰

L₃₁

Y_d1⁰

L₁

Y_d2⁰

L₂

;

C_q⁰= -

Y_q⁰

L₄₄

Y_Q⁰

L₅₄

Y_q1⁰

L₁

Y_q2⁰

L₂

;

L₁₁^ў

L₁₁

L₃₁

w_Dd

p+w_DD

;

L₂₁^ў

L₂₁

L₃₁

w_Df

p+w_DD

;

C_d^ў=

C_d⁰

L₃₁

B_D⁰

p(p+w_DD)

;

L₁₁^ўў

L₁₁^ў

L₂₁^ў

w_fd^ў

p+w_ff^ў

;

C_d^ўў=C_d^ў+

L₂₁^ў

B_f^ў

p+w_ff^ў

;

L₄₄^ў

L₄₄

L₅₄

w_Qq

p+w_QQ

;

C_q^ўў=

C_q⁰

L₅₄

B_Q⁰

p+w_QQ

Полная система дифференциальных уравнений автономного синхронного генератора, работающего с нагрузками, записанная через приращения потокосцеплений в операторной форме, дается уравнениями: для цепей СГ уравнение (25), для цепей нагрузки Z₁= pL₁+ r₁ уравнения (17), для цепей подключаемой нагрузки Z₂= pL₂+ r₂ уравнения (18), для условий по токам уравнение (30).
Система содержит восемь независимых уравнений для восьми переменных

U_d; U_q; Y_d; Y_q; Y_d1; Y_q1; Y_d2; Y_q2.
(31)

Остальные три переменные Y_f, Y_D, Y_Q определяются на основании уравнений (20) и (21) после того, как становятся известными Y_d и Y_q. Величина форсировки U_f(p) должна быть задана. Окончательные выражения для определения переменных уравнения (31) были получены решением матричных уравнений и здесь не приводятся. В заключение отметим, что такая система, полученная впервые, представляет теоретический интерес и используется для аналитических расчетов переходных процессов в СГ при набросе нагрузки.

Государственный инженерный университет Армении

Литература

1. Арешян Г. Л. - Электричество. 1998. N10.