УДК 539.182
Решение поляритонной задачи для плавной границы
(Представлено академиком Р. А. Казаряном 12/II 2001)
Поверхностные поляритоны определяются как
локализованные электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль границ раздела
различных сред [1,2]. Классическим примером является плазмонный поляритон,
возникающий на границе раздела металл-диэлектрик [1]. Другими важными
примерами являются экситонный [2], магнонный [3] и фононный [4]
поляритоны. С точки зрения физики конденсированных сред поверхностные волны
обусловлены динамикой соответствующих квазичастиц - плазмонов, экситонов,
магнонов, фононов и т. д. Однако с точки зрения электродинамики
сплошных сред, когда длина волны и расстояние распада волны много больше, чем
межатомные расстояния, подобные локализованные волны могут быть рассмотрены
феноменологически, макроскопическими уравнениями Максвелла, через
соответствующие диэлектрические постоянные среды.
где комплексная
диэлектрическая проницаемость Несмотря на кажущуюся простоту, наличие этого члена, как нетрудно
установить, действительно способно привнести в задачу дополнительную
сингулярность в областях, где
(здесь и далее буквенный индекс
обозначает дифференцирование по соответствующей переменной), где для унификации
записи введены обозначения l =
-kx2 ,
U = - Следуя методу [7], преобразуем уравнение (5), сохранив его линейность,
заменой зависимой и независимой переменных: Потребуем, чтобы данное уравнение совпадало с канонической формой общего
уравнения Гойна [6]: Анализ структуры этих уравнений показывает, что следует искать величины
r, j и U в следующем
виде: Наличие же
независимого внешнего параметра l (спектральный
параметр) в уравнении (11) вынуждает наложить на r и U
дополнительные связи: Нетрудно увидеть, что дополнительные связи (16), (17) и уравнения (12),
(13), (14) совместны лишь при определенных n1, 2, 3 и k1, 2,
3. Среди допустимых наборов значений этих параметров оказываются лишь
единичные, которые приводят к физически интересным видам профилей
диэлектрической проницаемости. В первую очередь таковыми являются наборы
(n1, n2, n3)=(1, 1, 0) и (k1,
k2, k3)=(0, 0, 1). Преобразование (20) отображает действительную ось zў на отрезок z О [0, 1]. При
этом профиль диэлектрической проницаемости определяет скачок по закону
гиперболического тангенса: Как
видим, ширина переходного слоя определяется параметром t. Параметры задачи теперь явно определяются
спектральным параметром следующим образом: анализ которого
показывает, что для |a| < 1 ряд (25) сходится, вообще говоря, только на отрезке
z О [0, |a|].
где Rn,
где должно быть
выбрано Re[a1] < 0,
Re[a2] > 0. Как нетрудно
убедиться, последнее условие приводит к формуле для волнового числа поляритона,
справедливой в пределе бесконечно тонкого переходного слоя: Таким образом, мы показали, что задача о поляритоне для плавной границы
с профилем диэлектрической проницаемости, изменяющимся по закону
гиперболического тангенса, сводится к каноническому виду общего уравнения Гойна,
имеющему четыре простые особые точки. Мы вывели дисперсионное соотношение
для волнового числа поляритона и показали, что оно имеет правильную асимптотику
в пределе резкой границы, т. е. когда переходный слой считается
бесконечно тонким. Инженерный центр НАН Армении
1. Raether H. Surface Plasmons. Berlin. Springer-Verlag. 1998; Maradudin A. A. In: Surface Polaritons. Edited by V. M. Agranovich and D. L. Mills,
N. Y. North-Holland. 1982; Yang F., Sambles
J. R., Bradberry G. W. - Phys. Rev. B. 1991.
V. 44. P. 5855.
(1)
(2) определяется как
= e - i[(4ps)/(w)].
Следует
подчеркнуть, что если только одна из проницаемостей испытывает пространственную
вариацию, то, как легко заметить, во-первых, система (1), (2) расщепляется,
т. е. одно из полей E, H может быть определено независимо, а
во-вторых, указанная симметрия относительно перестановки (, E ) « (m, H) нарушается.
=
(zў), m=const, то уравнение для ТМ электромагнитной волны будет содержать
дополнительный член, пропорциональный логарифмической производной
диэлектрической проницаемости:
ТЕ мода,
®
E
= (0, Ey, 0):
DEy +
w2
c2m
Ey = 0 ,
(3)
(4) (zў) пересекает ноль. Именно благодаря этой сингулярности
становится возможным существование волн, локализованных в окрестности
одной-единственной границы, т. е. существование поляритонов!
)/¶zў естественно ожидать либо
увеличения числа особых точек, либо увеличения ранга сингулярности этих
точек. Теория подобных уравнений до последнего времени была развита
черезвычайно слабо. Единственными уравнениями, теория которых благодаря
интенсивным усилиям, предпринятым в последнее десятилетие, в настоящий момент
доведена до достаточного для практики уровня, являются пять уравнений класса
Гойна (см. [6] и многочисленные ссылки там). Это наблюдение вселяет
надежду добиться успеха при трактовке поляритонной задачи для плавной границы
через функции Гойна.
Hzўzў -
Uzў
UHzў + (l - U)H = 0
. (5)
(6)
В
результате получаем уравнение
H = j(z)u(z) , zў =
у
х
dz
r(z). (7)
uzz =
ж
з
и
2
jz
j+
rz
r-
Uz
U
ц
ч
ш
uz +
й
к
л
jzz
j+
jz
j
ж
з
и
rz
r-
Uz
U
ц
ч
ш
+
l-U
r2
щ
ъ
ы
u = 0
. (8)
где 1 + a + b=g + d + e.
uzz +
ж
з
и
g
z+
-d
1 - z-
e
z - a
ц
ч
ш
uz +
-abz + q
z(1 - z)(z - a)u = 0 ,
(9)
Для этого, очевидно, должно быть:
2
jz
j+
rz
r-
Uz
U=
g
z+
-d
1 - z-
e
z - a, (10)
ж
з
и
jz
j
ц
ч
ш
z +
jz
j
ж
з
и
jz
j+
rz
r-
Uz
U
ц
ч
ш
+
l-U
r2=
-abz + q
z(1 - z)(z - a)u .
(11)
j =
za1(1 - z)-a2(z - a)a3 ,
(12)
r =
1
tzn1(1 - z)n2(z - a)n3 ,
(13)
где t и U0 - произвольные постоянные.
U = U0zk1(1 - z)k2(z - a)k3 ,
(14)
Тогда из уравнения (10) однозначно
определяются параметры g, d, e:
g =
2a1+n1-k1 ,
d = -2a2+ n2-k2 ,
e = 2a3+n3-k3
(15)
lt2
r2~
p1
z2+
p2
(1-z)2+
p3
(z-a)2+
q1
z(1-z)+
q2
z(z-a)+
q3
(1-z)(z-a),
(16)
Тогда соответственно определяются параметры a1, 2, 3, q, a, b:
U = z2n1(1-z)2n2(z-a)2n3×
×
ж
з
и
U1
z2+
U2
(1-z)2+
U3
(z-a)2+
V1
z(1-z)+
V2
z(z-a)+
V3
(1-z)(z-a)
ц
ч
ш
.
(17)
a1(a1+n1-k1-1)+(lp1-U1)t2=0 ,
a2(a2+n2-k2+1)+(lp2-U2)t2=0 ,
a3(a3+n3-k3-1)+(lp3-U3)t2=0 ,
q=-a[a1(a2-n2-k2)+a2(a1+n1-k1)+(lp1-V1)t2]+
+[a1(a3+n3-k3)+a3(a1+n1-k1)+(lq2-V2)t2] ,
-ab = [a1(a2-n2-k2)+a2(a1+n1-k1)+(lq1-V1)t2]-
-[a1(a3+n3-k3)+a3(a1+n1-k1)+(lq2-V2)t2]+
+[a2(a3+n3-k3)+a3(a2+n2-k2)+(lq3-V3)t2]
. (18)
U = U1 + (U2 - U1)z
, (19)
z =
1
1+e-(zў-zў0)/tau. (20)
є -
c2
w2mU = -
c2
w2m
ж
з
и
U1+U2
2+
U2-U1
2+
U1+U2
2+
zў-zў0
2t
ц
ч
ш
. (21)
g =
1+2a1 ,
d = 1-2a2 ,
e = -1
, (23)
Решение уравнения Гойна (9) можно построить в виде степенного ряда:
a =
b = a1-a2 ,
q=a[(a1-a2)2+(a1-a2)]-a1
. (24)
Для коэффициентов ряда получается
трехчленное рекуррентное соотношение
u =
Ґ
е
n=0 anzn
. (25)
ann[a(n-1)+ag]-an-1[1+a)(n-1)(n-2)+(g(1+a)+ad+
+e)(n-1)+q]+an-2[(n-2)(n-3)+(g+d+e)(n-2)+ab) = 0 , n і 0 ,
a-2 = a-1 = 0 , a0 = 1 ,
a1 = q/ag,
(26)
(27) , Pn - суть коэффициенты
рекуррентного соотношения (26) при an, an-1 и an-2
соответственно. Однако можно строго показать, что, к сожалению, данное
значение l не представляет собой собственное значение,
так как решение, соответствующее этому значению, не ограничено при z=1.
u = C1[Bz(1-2a1, 2a2) - aBz(-2a1, 2a2)] + C2
, (28)
Следовательно, для
достижения последнего граничного условия u(z=1)=0 должно быть
u(1) = C1
ж
з
и
a1
a1-a2- a
ц
ч
ш
G(-2a1)G(2a2)
G(2(a2-a1)). (29)
(1-a)a1 + aa2 = 0
. (30)
kx2 =
w2m
c2
e1e2
e1+e2. (31)
2. Yang F., Sambles J. R., Bradberry G. W. - Phys. Rev. Lett, V. 64, 559 (1990); A. Brillante, Pockrand I., Philpott M. R., Swalen
J. D. - Chem. Phys. Lett. 1978. V. 57. P. 395.
3. Hickernell R. K., Sarid
D. - Opt. Lett.
1987. V. 12. P. 570.
4. Brion J. J., Wallis
R. F., Harststein A., Burstein E. - Phys. Rev. Lett. 1972. V. 28. P. 1455.
Brion J. J., Wallis R. F., Harststein A., Burstein E.
- Surf. Sci., 1973. V. 34, P. 73 ; Chiu
K. W., Quinn J. J., - Phys.
Rev. B. 1972. V. 5. P. 4707. Lenac
Z., Tomas M. S. -
J. Phys. C. 1983. V. 16. P. 4273.
5. Колесников П. М. Введение в нелинейную
электродинамику: Минск. Наука и
техника. 1971.
6. Ronveaux A., Heun's Differential Equations. London,
Oxford University
Press. 1995.
7. Ishkhanyan A. M. - J. Phys. A. 1997. V. 30. P. 450; Ishkhanyan A. M. - Optics Communications,
2000. V. 176. P. 155. Ishkhanyan
A. M. - J. Phys. A. 2000. V. 33.
P. 5539.