УДК 539.3

   Работа посвящена изучению задачи напряженно-деформируемого состояния упругого пространства, содержащего упругое полубесконечное включение и связанного с дифракцией гармонической волны. Получены асимптотические формулы для смещения и напряжения упругого пространства, удобные для анализа в дальнем поле. Отметим, что накопленные в настоящее время результаты в решениях граничных задач динамической теории упругости весьма многочисленны.
   Достаточно полно изучены законы распространения упругих волн в сложных средах, позволяющие рассматривать дифракцию волн на внутренних и поверхностных неоднородностях. В основном динамические задачи теории упругости для ограниченных тел или тел, содержащих различного рода неоднородности (включения, трещины и т.п.), сводятся к решению смешанных задач математической физики, изучение которых связано с достаточно большими трудностями.
   Одной из причин этого является сложность постановки краевых задач динамической теории упругости для ограниченных тел. С другой стороны, трудности возникают в связи с спецификой ядер интегральных уравнений смешанных задач, из-за наличия сильно осциллирующих составляющих ядра с сохранением свойств сингулярности или других локальных особенностей. Сложность решения динамических задач диктуется также наличием анизотропии, неоднородностей, угловых точек в упругой среде и т.д. (см [1-7]).
   Интерес к этим задачам особенно возрос в последнее время, в связи с большой ролью в ряде практических вопросов (колебания упругих сред, вызванных вибрирующими источниками, сейсмология, акустикоэлектроника, физическая акустика, вибрационная сейсморазведка, глубинное зондирование земной коры и т.д.).
   Одним из важных методов решения смешанных задач динамической теории упругости является метод факторизации, в основе которого лежит факторизация функций и матриц-функций (см. [8-10]). Одновременно отметим, что задача факторизации является трудной и не всегда разрешимой, о причинах чего говорилось выше.
   Предположим, что упругое включение является достаточно тонким и находится в упругом полупространстве, упругие свойства которого не совпадают с соответствующими упругими свойствами пространства. Здесь рассматривается граничная задача, где граничное условие типа скачка на упругом включении возникает при дифракции антиплоской гармонической волны в упругом пространстве, которое находится в антиплоском состоянии (см. [11, 12]).
   Граничная задача, рассматриваемая здесь после отделения временного множителя e^-iwt, преобразуется в следующую граничную задачу (1)-(5).
   Рассматривается решение стационарного уравнения Гельмгольца:

Dv + k2v = d(x - x0)d(y - y0),

(1)

где y₀ > 0, |y| > 0, k = В(k) + iБ(k) с В(k) > 0, Б(k) > 0, которое удовлетворяет следующим граничным условиям:
   при x < 0 на включении, условие типа скачка

м п н п о v(x, +0) = nv (x, -0) ¶v(x, +0) ¶y = m ¶v(x, -0) ¶y ,

(2)

где n @ 1 - i[(G₁b₁kd)/(G₂)], m @ 1 - i[(G₂b₂²kd)/(G₁b₁)]. Здесь b_j² = ( [(c₀)/(c_j)])² - 1, c_j² = [(G_J)/(r_j)], а r_j и G_j, (j = 1,2) - плотность и модуль сдвига упругого пространства и включения, d - толщина включения, c₀ - скорость линейного источника;
   при x > 0 условие непрерывности

м п н п о v(x, +0) = v(x, -0) ¶v(x, +0) ¶y = ¶v(x, -0) ¶y ,

(3)

кроме того потребуем на бесконечности выполнение условия типа Зоммерфельда:

(4)

а также в начале координат около края включения - условия

lim x®+0  v(x, +0) = O(xh),

(5)

где 0 < В(h) Ј [1/2].
   Как было показано в работе [12], разрешимость граничной задачи (1)-(5) приведена к разрешимости матричного уравнения Винера - Хопфа:

® v+   (a) = L(a) ® v-   (a) + ® m   (a),

(6)

что эквивалентно факторизации матриц-функций L(a) = SN(a), где
S =, N(a) =.

Здесь k(a) - специально выбранная ветвь данной двузначной функции.
   Ввиду того, что матрица-функция N(a) есть f-циркулянт с f(a) = [((1+n)(1-m))/((1-n)(1+m))](ik(a))² и алгебра матриц-функций f-циркулянтов есть комплексная коммутативная банахова алгебра, то, как было показано в [12], в полосе |Б(a)| < Б(k) она допускает факторизацию

N(a) = N+(a)N-(a),

(7)

где N_-(a) = N₊(-a) и N₊(a), N_-(a) - обратимые аналитические матриц-функции соответственно в полуплоскостях Б(a) > -Б(k) и Б(a) < Б(k). Это позволяет представить решение граничной задачи в виде