где s_n,k =-узлы интерполяции, а контур C охватывает все особенности подынтегральной

функции. Была установлена равномерная сходимость квазиполиномов типа (2) к произвольной непрерывной на [0,+Ґ] функции f(x), а также дано обобщение теоремы Вороновской [2]. Эти квазиполиномы существенно использованы при решении проблемы моментов [3]. Заметим, что при l_j = j, e^-x = t из квазиполиномов (2) получаются классические полиномы С.Н.Бернштейна

При решении аппроксимационной задачи сначала были построены квазиполиномы типа Бернштейна - Хаусдорфа для функции e^-lx l > 0, x О [0,+Ґ], имеющие вид

и установлена их сходимость к функции e^-lx. Далее доказана лемма, утверждающая, что при условии (1) на последовательность {l_j}

и с использованием теоремы Вейерштрасса осуществлен переход к произвольной непрерывной функции f(x).
   Целью данной работы является доказательство равномерной сходимости квазиполиномов типа Бернштейна - Хаусдорфа (4) для функции e^lx

Bn[ elx] = n е k=0  м н о n Х j=k+1  ж з и 1 + l lj ц ч ш ь э ю wn,k(x)

(5)

к функции e^lx (l > 0), которая не ограничена в промежутке [0,+Ґ). Доказательство разобьем на несколько этапов.
   2. Для любой последовательности {l_n} и l имеет место следующее тождество [3]:

1 x - l = n е k=0  n Х j=k+1  (lj + l) n Х j=k  (x + lj) + rn(x,l),

где

rn(x,l) = n Х j=0  (lj + l) (x - l) n Х j=0  (x + lj) .

Если обе части этого тождества умножить на [1/(2pi)]e^xxdx и проинтегрировать по контуру C, содержащему все особенности подынтегральной функции, то придем к следующему важному соотношению при l > 0 и l_j і 0:

равномерно по x в промежутке [0,A] при всяком A > 0.
   В выражении (7) для r_n(x;l) произведем подстановку x - 2l = x₁, обозначим l_j + 2l = m_j, j = 0, 1, 2,ј,n и заметим, что

m0 = 2l, lim j®Ґ  mj = +Ґ,  Ґ е j=1  1 mj = Ґ е j=1  1 lj + 2l = +Ґ.

Тогда

й к л n Х j=0  (1 - l mj ) щ ъ ы e2lx 2pi у х C1    exx1dx1 (x1 + l) n Х j=0  (1 + x1 mj ) .

Контур C₁, охватывающий особенности подынтегральной функции в точках x₁ = -l, x₁ = -m_j, j = 0,1,2,ј,n (m₀ = 2l), заменим на прямую (-d - iҐ, -d + iҐ), где 0 < d < [(l)/2]. Тогда

б) |Qn(x;l)| < B(l,d,x)

|rn(x;l)| = |Pn(l) · Qn(x;l)| < < B(l,d,x) < B*(l;d,x).

Таким образом доказана следующая
   Теорема. Если последовательность {l_j} удовлетворяет условиям (I), то квазиполиномы типа Бернштейна - Хаусдорфа B_n[e^lx], определяемые формулами (5), равномерно сходятся к неограниченной функции e^lx, l > 0, т.е.

lim n®Ґ  Bn[elx] = lim n®Ґ  n е k=0  м н о n Х j=k+1  ж з и 1 + l lj ц ч ш ь э ю wn,k(x) = elx

равномерно по x О [0,A] при всяком A > 0.
   3. Рассмотрим теперь частные случаи. Приняв в соотношении (6) l_j = j, e^-x = t, 0 < t Ј 1, получим

1 tl = n е k=0  м н о n Х j=k+1  ж з и 1 + l j ц ч ш ь э ю Cnk tk(1 - t)n-k + rn(-ln t; l), l > 0,

где
В силу доказанной теоремы

lim n®Ґ  rn*(t; l) = lim n®Ґ  rn(-ln t, l) = 0,  0 < t Ј 1, l > 0.

и имеем сходимость аналогов полиномов С.Н.Бернштейна

n е k=0  м н о n Х j=k+1  ж з и 1 + l j ц ч ш ь э ю Cnk tk(1 - t)n-k,  l > 0

(9)

к неограниченной функции [1/(t^l)] равномерно в промежутке d Ј t Ј 1 при всяком d > 0. Интересен случай l = 1. Тогда
и полиномы (9) будут иметь вид

n е k=0  м н о n Х j=k+1  ж з и 1 + 1 j ц ч ш ь э ю Cnk tk(1 - t)n-k = = n е k=0    1 k+1 n+1 Cnk tk(1 - t)n-k;

они аппроксимируют функцию [1/t] равномерно в промежутке d Ј t Ј 1, "d > 0. Кстати, в этом частном случае сходимость можно доказать проще. Действительно, в выражении r_n^*(t;1) сделаем замену переменной x - 1 = x₁, dx = dx₁. Тогда

= n!t-1 2pi у х C1    t-x1dx1 x1 n+1 Х k=1  (x1 + k) ,

где контур C₁ охватывает особенности подынтегральной функции в точках x₁ = 0, -1, -2, ј - (n + 1). Известно, что

     Государственный инженерный университет Армении