Введем в рассмотрение квазинормированное пространство L(p,q,a)   (0 < p,q Ј Ґ, a > 0), состоящее из тех измеримых в функций f(x,y), для которых конечна квазинорма (норма при 1 Ј p,q Ј Ґ)

Пусть h(p,q,a) - гармоническое подпространство пространства L(p,q,a). Гармонические пространства h(p,q,a) со смешанной нормой в полупространстве исследованы несколькими авторами. Среди них отметим М. Тейблсона [1], Т. Флетта [2,3], Буй Хюи Ки [4], Ф. Ричи и М. Тейблсона [5], А. Э. Джрбашяна [6]. При p = q < Ґ пространства h(p,q,a) иногда называют весовыми пространствами Бергмана, хотя сам Бергман [7,8] начиная с 1929 г. изучал лишь функции, интегрируемые с квадратом без веса, т.е. гильбертово пространство h(2,2,1/2). В работах М. М. Джрбашяна [9,10] введены весовые классы h(p,p,a) (1 Ј p < Ґ) и получены их интегральные представления для функций, голоморфных в единичном круге. Тем не менее, ряд важных свойств классов h(p,q,a), относящихся к вопросам вложения и дробного интегродифференцирования, ранее установлен Харди и Литтлвудом [11,12].
   2. Для функции f(x,y), измеримой и комплекснозначной в , введем в рассмотрение оператор дробного интегродифференцирования Римана-Лиувилля (называемый также потенциалом Рисса):

D-af(x,y) = 1 G(a) у х +Ґ 0  sa-1f(x,y + s)ds,

D0 f = f,   Daf(x,y) = (-1)mD-(m-a) ¶m ¶ym f(x,y),

где a > 0, а m- целое, m - 1 < a Ј m.
   В верхнем полупространстве ядро Пуассона P є P₀ и сопряженные ядра Пуассона P_j (1 Ј j Ј n) определяются формулами

Pj(x,y) = kn xj (|x|2 + y2)(n+1)/2  ,      kn = G ж з и n+1 2 ц ч ш p(n+1)/2 ,      0 Ј j Ј n.

Символы C(a,b,...), c_a и т.п. обозначают различные положительные постоянные, зависящие только от указанных индексов a, b,.... Пусть - множество всех мультииндексов l = (l₁,..., l_n, l_n+1) с неотрицательными координатами l_j О Z₊ и пусть |l| = l₁ + ј + l_n + l_n+1 и

   3. Следующая лемма о производных ядер Пуассона доказывается прямой оценкой.
   Лемма 1. Если a > 0,  l О ,  [n/(n+a)] < p Ј Ґ, то для каждого j, 0 Ј j Ј n, справедливы оценки

|DaPj(x,y)| Ј C(a,n) 1 (|x| + y)a+n ,       x О Rn,  y > 0, |¶lPj(x,y)| Ј C(l,n) 1 (|x| + y)|l|+n ,       x О Rn,  y > 0,

Mp(DaPj;y) Ј C(a,n,p) 1 ya+n-n/p ,       y > 0, Mp(¶lPj;y) Ј C(l,n,p) 1 y|l|+n-n/p ,       y > 0.

   Лемма 2. При  0 < p Ј p₀ Ј Ґ, 0 < q Ј q₀ Ј Ґ, a + n / p = a₀ + n / p₀ имеют место следующие непрерывные вложения

h(p,q,a) М h(p0,q0,a0),

||u||p0,q0,a0 Ј C ||u||p,q,a,

где C = C(p,q,a,p₀,q₀,n). Более того, если u(x,y) О h(p,q,a) с q < Ґ, то

yaMp(u;y) = o(1)   при   y ® +0   и   y ® +Ґ.

   В полуплоскости (т.е. при n = 1) лемма 2 доказана Ричи и Тейблсоном [5]. Вложение h(p,q,a) М h(p,Ґ,a) из леммы 2 приводит к следующему полезному свойству классов h(p,q,a).
   Лемма 3. Пусть u(x,y) О h(p,q,a) (0 < p,q Ј Ґ, a > 0) , u_h(x,y) = u(x,y + h). Тогда квазинорма ||u_h||_p,q,a "почти" возрастает по h і 0, т.е.

||uh1||p,q,a Ј C(p,q,a,n) ||uh2||p,q,a,      h1 > h2 і 0.

   4. Для функции u(x,y), гармонической в и удовлетворяющей условию

u(x,y) = O ж з и 1 yd ц ч ш ,   y ® +Ґ,   d > 0,

преобразования Рисса определяются как

uj(x,y) = (Rju)(x,y) = - у х +Ґ y  ¶u(x,h) ¶xj dh,      1 Ј j Ј n.

Вектор-функция F = (u₀,u₁,...,u_n),  u = u₀, является системой Рисса сопряженных гармонических функций (см., например, [13]), т.е. функции u_j удовлетворяют обобщенным уравнениям Коши-Римана

Эти уравнения равносильны существованию гармонической в функции f такой, что F = С f. Заметим, что в случае n = 1 уравнения (1) переходят в обычные уравнения Коши-Римана. При этом функция F = u₀ + iu₁ голоморфна относительно переменной z = x₁ + ix₀.
   Теорема 1. Пусть a > 0 и u є u₀ О h(p,q,a). Пусть также выполнены условия  0 < p,q Ј Ґ, b > max{a + n / p - n, a} либо условия p = 1, 0 < q Ј 1, b і a. Тогда имеют место следующие интегральные представления (0 Ј j Ј n)

uj(x,y) =u(x,h) DbPj(x - x,y + h) hb-1dxdh,      x О Rn,  y > 0.

(2)

   Как видим, дробные производные ядра Пуассона и сопряженных ядер Пуассона обладают воспроизводящим свойством. Указанное свойство для ядра D^bP₀ было впервые замечено М.М. Джрбашяном ([14], с. 596) применительно к функциям, голоморфным и гармоническим в замыкании единичного круга.
   Для j = 0 и целых b представление (2) было доказано Ричи и Тейблсоном [5] при n = 1 и А.Э. Джрбашяном [6] при n і 1 и p = q < Ґ.
   5. Определим семейство операторов (a > 0,   0 Ј j Ј n)

Ta,j(f)(x,y) =f(x,h) DaPj(x - x,y + h) ha-1dxdh.

В следующей теореме рассмотрен вопрос о гармонической проекции, осуществляемой этими операторами.
   Теорема 2. Если 1 Ј p,q Ј Ґ, b > a > 0, 0 Ј j Ј n, то оператор T_b,j является ограниченным проектором из L(p,q,a) на h(p,q,a), т.е.

||Tb,jf||p,q,a Ј C||f||p,q,a      " f О L(p,q,a).

   Для j = 0, 1 Ј p = q < Ґ и целых b теорема 2 доказана в [6].
   Далее, естественно встает вопрос об ограниченности оператора гармонического сопряжения (т.е. преобразований Рисса R_j) в пространствах h(p,q,a). Поскольку представление (2) можно переписать в виде u_j = T_b,j(u), то из теорем 1 и 2 немедленно вытекает
   Следствие. При 1 Ј p,q Ј Ґ, a > 0 преобразования Рисса R_j (1 Ј j Ј n) ограниченны на h(p,q,a), т.е.

||uj ||p,q,a Ј C||u||p,q,a      " u О h(p,q,a).

   На самом деле преобразования Рисса ограниченны на h(p,q,a) при всех 0 < p,q Ј Ґ. Однако доказательство этого факта требует привлечения дополнительных рассуждений.

   Ереванский государственный университет
   Институт математики НАН Армении