Здесь на части боковой поверхности S₁ заданы силовые и моментные граничные условия, а на S₂ - краевые условия для компонентов перемещений и поворотов.
   Так как по предположению решение внутренней задачи и решение задачи погранслоя независимы, то выражение (2) распадается на две самостоятельные задачи. Остановимся на той части выражения (2), которая относится к внутренней задаче. Будем иметь

у х S1 й к л ж з и _  sij   + p sij   + a sij   ц ч ш nj - P*i щ ъ ы d _  ui   dS + у х S1 й к л ж з и _  mij   + p mij   + a mij   ц ч ш nj - m*i щ ъ ы d _  wi   dS + у х S2 й к л u*i - ж з и _  ui   + p ui   + a ui   ц ч ш щ ъ ы d _  sij   njdS + у х S2 й к л w*i- ж з и _  wi   + p wi   + a wi   ц ч ш щ ъ ы d _  mij   dS = 0.      (3)

   Рассмотрим теперь два независимых состояния - основное напряженно - деформированное состояние и погранслой, которые имеют место в пластинке при действии внешних указанных нагрузок. Для этих независимых напряженно-деформированных состояний примем теорему о взаимности работ трехмерной несимметричной теории упругости [10]

   В выражении (5) независимоe варьированиe допустимo как с силовыми и моментными напряжениями, так и с перемещениями, независимыми поворотами. Независимость внутреннего напряженно-деформированного состояния и погранслоя друг от друга и в этом случае приводит к двум независимым выражениям, одно из которых имеет вид

    Трехмерную область v пластинки представим в виде суммы двух областей: v = v₁ И v₂, где область v₁ примыкает к боковой поверхности S и соответствует погранслою, а v₂ - внутренняя область, в которой решение погранслоя равно нулю (т. е. решение погранслоя в указанной области полностью затухает).

    Рассмотрим область v₁ границами которой являются боковая поверхность S = S₁ И S₂, лицевые поверхности пластинки S⁺ и S^- и S₀. Здесь S₀ - поверхность, перпендикулярная к срединной плоскости пластинки S, разделяющая трехмерные области v₁ и v₂ (т. е. из пластинки выделяется та часть области v(v₁) в виде криволинейного стержня, в которой имеет место погранслой). Тогда из (6) будем иметь

    Вариации компонент силовых и моментных напряжений ибудем выбирать таким образом, чтобы они удовлетворяли однородным уравнениям равновесия и однородным граничным условиям на лицевых поверхностях пластинки S⁺ и S^-. Тогда первый, третий, четвертый интегралы в выражении (7) будут равны нулю. Пятый интеграл в (7) тоже равен нулю, в силу затухания величин погранслоя. В итоге получим

   Итак, в виде формулы (11) выделена та часть вариационного соотношения, которая полностью относится к внутреннему (основному) напряженно-деформированному состоянию. В этом и состоит ее ценность.
   При исследовании внутренней задачи [4,5] асимптотический анализ приводит к определенным качественным распределениям по координате x₃ величин поставленной задачи. Если в формулу (11) вместо величин внутренней задачи подставить указанные результаты, получим характерные для внутренней задачи краевые условия, качественныe в смысле удовлетворения общим трехмерным краевым условиям по несимметричной теории упругости, подставленным на боковой поверхности пластинки. Эта закономерность определяет также качественную сторону краевых условий, которые соответствуют погранслою. Качественную сторону граничных условий погранслоя называют условиями существования затухающих решений от боковой поверхности пластинки или условиями согласованности при распределении общих трехмерных краевых условий по несимметричной теории упругости между внутренней задачей и задачей погранслоя.
   Допустим, что на боковой поверхности пластинки заданы силовые и моментные трехмерные краевые условия (в таком случае в формуле (11) исчезает второй интеграл по поверхности S₂). Считаем, что контур срединной плоскости пластинки совпадает с координатной линией a₂
   В случае симметричной по x₃ задачи в асимптотическом смысле главные члены в нулевом приближении выражаются формулами:

   Подставляя (12) или (13) в выражение (11), получим краевые условия внутренней задачи в каждой точке контура в срединной плоскости пластинки:
   для симметричной задачи

   Формулы (14) и (15) не только определяют краевые условия на контуре l срединной плоскости пластинки для внутренней задачи в исходном асимптотическом приближении (для симметричной и кососимметричной по x₃ задач соответственно), но одновременно указывают, что погранслой в исходном асимптотическом приближении на каждом нормальном сечении на контуре l срединной плоскости пластинки будет удовлетворять самоуравновешенным по толщине пластинки силовым и моментным краевым условиям.
   Разработанный подход позволяет аналогичным образом рассматривать и другие виды трехмерных краевых условий по несимметричной теории упругости на боковой поверхности пластинки.

   Гюмрийский государственный
   педагогический институт им. М. Налбандяна