Из (3) следует, что точки A₁ и A₂ всегда находятся по разные стороны относительно точки M.
   На основе (1) имеем

    Пусть теперь в пространстве задана произвольная (не обязательно замкнутая) поверхность S₁, которая в частных случаях может пересекаться с граничной поверхностью S_M или (и) содержать точку начала координат. Назовем инверсией поверхности S₁ относительно поверхности S_M с получением поверхности S₂ такое преобразование, когда все точки A₁ поверхности S₁ преобразуются по уравнениям (3) ё (9) в точки A₂ поверхности S₂. Ясно, что граничная поверхность S_M при инверсии преобразуется сама в себя.
   На основе тех же уравнений (3) ё (9) осуществляется инверсия объемов относительно граничной поверхности S_M. При этом точки A₁ являются внутренними точками инверсируемого объема. Внутренние полости объема, ограниченные поверхностями S₁ў, инверсируются в полости, а ограниченные поверхностями S₂ў - так же, как и внешние поверхности S₁, в S₂.
   Легко показать, что, если граничная поверхность образована центральной сферой или центральным эллипсом, то все центральные сферы (в первом случае) и все центральные эллипсоиды (во втором случае) преобразуются снова в центральные сферы и центральные эллипсоиды. Внутренние - во внешние и наоборот.
    Если граничная поверхность является плоскостью S_M: x_Mcosl + y_Mcosb + z_Mcosg = p_M, а инверсируемая поверхность S₁ - плоскость, параллельная граничной: x₁cosl + y₁cosb + z₁cosg = p₁, то в результате инверсии получаем поверхность плоскости S₂, которая оказывается параллельной этим плоскостям: x₂cosl + y₂cosb + z₂cosg = p₂ . При этом p₁p₂ = p²_M.
    Рассмотрим наиболее общий случай, когда граничная поверхность S_M - произвольная замкнутая поверхность

которая может быть задана аналитически либо в виде множества дискретных значений координат точек M(x_M,y_M,z_M). Поверхность S₁, инверсию которой необходимо осуществить, также должна быть задана либо аналитически

либо в виде множества дискретных значений координат точек A₁(x₁,y₁,z₁).
   Для каждой точки A₁ определяются величины направляющих косинусов (см. (1)) и на поверхности S_M находится методом поиска точка M(x_M,y_M,z_M), радиус-вектор которой имеет те же самые значения направляющих косинусов, что и соответствующая точка A₁. Далее по известным координатам точек A₁ и M по уравнениям (2) ё (9) определяются координаты точки A₂.
   В результате получаем множество точек A₂, которые дискретно представляют поверхность S₂, которая является инверсной относительно поверхностей S₁ и S_M.
   В случае, если граничные поверхности S_M и S₁ заданы аналитически уравнениями (10) и (11), то определение координат точки A₂ для соответствующей точки A₁ производится следующим образом. На основе (11) определяются координаты x₁ y₁ z₁ произвольной точки A₁, которая принадлежит поверхности S₁. В (10) подставляются координаты с неопределенным множителем

   Величина этого множителя инверсии l для данной точки A₁ определяется из полученного уравнения

    Далее используется только положительное значение l. На основании (9) определяются координаты инверсированной точки

   Процедура повторяется для необходимого множества точек A₁ и A₂.
   Предлагаемый метод инверсии поверхностей и их объемов относительно заданной граничной поверхности может найти применение при автоматизации моделирования различных трехмерных объектов. Для этого необходимо произвести исследования по инверсии различных типовых поверхностей и их объемов относительно также ряда граничных поверхностей. Возникает необходимость составления соответствующих программ расчета на ЭВМ.
   В целом, несомненно, что инверсия поверхностей и объемов является новой областью для проведения исследований.

   Государственный инженерный университет Армении