ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 517.54

Академик Г. Л. Арешян

Инверсия поверхностей

(Представлено 4/IX 2000)

   Зададим вокруг начала координат замкнутую выпуклую граничную поверхность SM fM(xMyMzM) = 0, не содержащую начало координат. Под выпуклостью будем понимать требование, чтобы любой луч из начала координат (центральный луч) пересекал граничную поверхность SM только в одной точке M(xMyMzM), что обеспечивает однозначность при инверсии. Рассмотрим три точки A1(x1y1z1),A2(x2y2z2) и M(xMyMzM), которые находятся на одном и том же произвольном центральном луче. При этом условии направляющие косинусы векторов этих точек будут равны друг другу
cosa = x1
r1
= xM
rM
= x2
y2
;   cosb = y1
r1
= yM
rM
= y2
r2
cosg = z1
r1
= zM
rM
= z2
r2
ь
п
п
э
п
п
ю
,     (1)
где
r1 =   ___________
Цx21 + y21 + z21
 
,    rM =   ___________
Цx2M + y2M + z2M
 
r2 =   ___________
Цx22 + y22 + z22
 
ь
п
э
п
ю
     (2)

   Зададим инверсию точки A1 (или точки A2) относительно точки M, для получения точки A2 (или A1) по закону

r1r2 = r2M     (3)

   Из (3) следует, что точки A1 и A2 всегда находятся по разные стороны относительно точки M.
   На основе (1) имеем

x1= r1
rM
xM,    y1= r1
rM
yM,    z1= r1
rM
zM,     (4)
x2 = r2
rM
xM,    y2 = r2
rM
yM,    z2 = r2
rM
zM.     (5)
Пусть
r1 = krM,    k > 0.     (6)
Тогда, используя (3)ё(5), получаем
x1 = kxM,    y1 = kyM,    z1 = kzM,     (7)
x2 = k-1xM,    y2 = k-1yM,    z2 = k-1zM,    r2 = k-1rM,     (8)
x2 = k-2x1,    y2 = k-2y1,    z2 = k-2z1.     (9)

    Пусть теперь в пространстве задана произвольная (не обязательно замкнутая) поверхность S1, которая в частных случаях может пересекаться с граничной поверхностью SM или (и) содержать точку начала координат. Назовем инверсией поверхности S1 относительно поверхности SM с получением поверхности S2 такое преобразование, когда все точки A1 поверхности S1 преобразуются по уравнениям (3) ё (9) в точки A2 поверхности S2. Ясно, что граничная поверхность SM при инверсии преобразуется сама в себя.
   На основе тех же уравнений (3) ё (9) осуществляется инверсия объемов относительно граничной поверхности SM. При этом точки A1 являются внутренними точками инверсируемого объема. Внутренние полости объема, ограниченные поверхностями S1ў, инверсируются в полости, а ограниченные поверхностями S2ў - так же, как и внешние поверхности S1, в S2.
   Легко показать, что, если граничная поверхность образована центральной сферой или центральным эллипсом, то все центральные сферы (в первом случае) и все центральные эллипсоиды (во втором случае) преобразуются снова в центральные сферы и центральные эллипсоиды. Внутренние - во внешние и наоборот.
    Если граничная поверхность является плоскостью SM: xMcosl + yMcosb + zMcosg = pM, а инверсируемая поверхность S1 - плоскость, параллельная граничной: x1cosl + y1cosb + z1cosg = p1, то в результате инверсии получаем поверхность плоскости S2, которая оказывается параллельной этим плоскостям: x2cosl + y2cosb + z2cosg = p2 . При этом p1p2 = p2M.
    Рассмотрим наиболее общий случай, когда граничная поверхность SM - произвольная замкнутая поверхность

fM(xM,yM,zM) = 0,     (10)

которая может быть задана аналитически либо в виде множества дискретных значений координат точек M(xM,yM,zM). Поверхность S1, инверсию которой необходимо осуществить, также должна быть задана либо аналитически

f1(x1,y1,z1) = 0,     (11)

либо в виде множества дискретных значений координат точек A1(x1,y1,z1).
   Для каждой точки A1 определяются величины направляющих косинусов (см. (1)) и на поверхности SM находится методом поиска точка M(xM,yM,zM), радиус-вектор которой имеет те же самые значения направляющих косинусов, что и соответствующая точка A1. Далее по известным координатам точек A1 и M по уравнениям (2) ё (9) определяются координаты точки A2.
   В результате получаем множество точек A2, которые дискретно представляют поверхность S2, которая является инверсной относительно поверхностей S1 и SM.
   В случае, если граничные поверхности SM и S1 заданы аналитически уравнениями (10) и (11), то определение координат точки A2 для соответствующей точки A1 производится следующим образом. На основе (11) определяются координаты x1 y1 z1 произвольной точки A1, которая принадлежит поверхности S1. В (10) подставляются координаты с неопределенным множителем

xM = lx1,    yM = ly1,    zM = lz1.     (12)

   Величина этого множителя инверсии l для данной точки A1 определяется из полученного уравнения

fM(l, x1, y1, z1) = 0.     (13)

    Далее используется только положительное значение l. На основании (9) определяются координаты инверсированной точки

x2 = l2x1,    y2 = l2 y1,    z2 = l2z1,    l = k-1.     (14)

   Процедура повторяется для необходимого множества точек A1 и A2.
   Предлагаемый метод инверсии поверхностей и их объемов относительно заданной граничной поверхности может найти применение при автоматизации моделирования различных трехмерных объектов. Для этого необходимо произвести исследования по инверсии различных типовых поверхностей и их объемов относительно также ряда граничных поверхностей. Возникает необходимость составления соответствующих программ расчета на ЭВМ.
   В целом, несомненно, что инверсия поверхностей и объемов является новой областью для проведения исследований.

   Государственный инженерный университет Армении