1. Рассмотрим задачу Коши

Ly(x) := p е n=0  qn dn y dxn = f(x),  x О [-1,1], y(n)(t) = Yn,  n = 0,ј,p-1,

(1.1)

где q_n (n = 0,ј,p) от x не зависят, t О [-1,1] - фиксированное число. Хорошо известно, что задача (1.1) корректна в C^p[-1,1]  (f О C^p).
   Решение ищем в виде

где x_k = [2 k/( 2N+1)], k = 0,±1,ј,±N (N і 1-целое). Для нахождения коэффициентов и потребуем, чтобы формула (1.2) была точной для систем { e^{i pn x}}, n = -N + q₂,ј,N - q₁ (q₂ = q₁ = [(q + 1) / 2], при нечетных q и q₁ = [q / 2] + 1, q₂ = [q / 2], при четных q, q і 0-целое), и. Будем считать, что объединенная система функций {e^{ipn x},j_m(x),y_m(x)} линейно независима на [-1,1].
   После несложных преобразований придем к формуле

n= 1 2N + 1 N е k=-N  f(xk)e-ipn xk,  |n| Ј N,

,  |n| Ј N;  m = 0,ј,q,

m = 0,ј,q,

Q_mn - элементы матрицы, обратной к матрице ||||, (m = 0,ј,q; n = -N,ј, -N + q₂ - 1, N - q₁ + 1, ј, N), а под символом е понимаем суммирование по значениям n = -N,ј, -N + q₂ + 1,N - q₁ + 1, ј, N.
   Функции b_k(x) в (1.3) определяются из следующей системы:

Fk(x) = yk(x) -,  k = 0, ј, p - 1.

,  |n| Ј N;  k = 0,ј,p - 1,

,  m = 0, ј, q;  k = 0,ј,p - 1.

   Алгоритм (1.3)-(1.4) назовем алгоритмом A.
   Как следует из результатов работ [5,6], величины иявляются приближенными значениями чисел

= q е k=0  (f(k)(1) - f(k)(-1))Pkm,  m = 0, ј, q,

= q е k=0  (Rs(k)(1) - Rs(k)(-1))Pkm,  m = 0,ј,q;  s = 1, ј, p,

где R_m(x) = L(y_m(x)), а P_km - элементы матрицы, обратной к матрице [r_m^(k)(1) - r_m^(k)(-1)] (k = 0,ј,q;   m = 0,ј,q;   r_m(x) = L(j_m(x))).

   Замечание 1. Если в соотношениях (1.3)-(1.4) формально заменить числа инулями, то получатся формулы работы [3].
   Замечание 2. Метод Бернулли (см. [5,6]) также содержится в (1.3)-(1.4) при L є I (I - единичный оператор), p = 0 и j_m(x) = B_m(x) (B_m(x) - полиномы Бернулли), при этом все суммы вида надо считать равными нулю.
   Алгоритмом B назовем действия алгоритма A, в котором заменены через . Алгоритмом C назовем действия алгоритма A, в котором и изаменены соответственно числами и . Алгоритмы B и C изучены в работе [4].
   Замечание 3. Соответствующие алгоритмы можно получить, если в алгоритмах A, B и C все дискретные преобразования Фурье заменить соответствующими коэффициентами Фурье (см. [8]). Здесь их свойства не изучаются.
   2.Чтобы продемонстрировать ФБ-эффект (ускоренную сходимость) в алгоритмах A, B и C, рассмотрим задачу, решением которой является функция e^(a+ib)x, зависящая от двух параметров a и b

y(6) + ay(5) + by = ((a + ib)6 + a(a + ib)5 + b)e(a+i b)x,  x О [-1,1], y(s)(0) = (a + i b)s,  s = 0, .ј, 5.

(2.1)

   На рис. 1 представлены десятичные логарифмы обратных величин абсолютных ошибок после применения алгоритмов A, B и C для примера 2.1, при фиксированных значениях x = 0.37 (слева) и при x = 0.89 (справа), когда a О [2,3], b О [4,9], q = 1. Здесь j_m(x) = B_m(x), m = 1, .ј, q + 1, = {e^x,e^-x,e^{2 x},e^{-2 x},e^{3 x},e^{-3 x}}.

   Рис. 1. Логарифмы обратных величин абсолютных ошибок после применения
алгоритмов A, B и C для примера 2.1, при фиксированных значениях x = 0.37 (слева)
и при x = 0.89 (справа), когда a О [2,3], b О [4,9], q = 1.

   На рис. 2 представлены десятичные логарифмы обратных величин абсолютных ошибок после применения алгоритмов A, B и C для примера 2.1, при различных значениях q, когда a О [2,3], b = a², x О [-1,1] (наверху) и x О [-1/2,1/2] (внизу). Функции j_m(x) и y_m(x) выбраны, как и на рис 1.
   На основании этих результатов и многочисленных других экспериментов можно сделать следующее заключение:
    Хорошо известны трудности, возникаюшие при численном решении уравнений, когда решение, коэффициенты или правая часть уравнения зависят от нескольких параметров. В частности, это приводит к резкому повышению сложности соответствующих алгоритмов, поскольку вычисления необходимо осуществлять на достаточно густой дискретной сети параметров. Алгоритмы A, B и C позволяют решать такие задачи посредством одного символьного разложения. При этом алгоритм A намного эффективнее двух других, как это видно, в частности, на рисунках 1 и 2.
   Такие алгоритмы можно получить также и при решении начальных задач более общего вида, и в частности - для интегро-дифференциальных уравнении определенного сверточного типа, для нахождения периодических решений уравнений с запаздыванием (см. [3,4]), а также при решении соответствующих граничных задач (см. [1]).
   Алгоритм C неустойчив при переходах от четных q к нечетным. Точность при этом, для данного N, почти не увеличивается и на всем отрезке [-1,1] и на его части [-1/2,1/2]. В этом смысле алгоритм B также неустойчив. На рисунке 2 алгоритмы B и C при q = 1 и q = 3 не представлены, так как они практически не отличаются от соответствуюших алгоритмов при q = 0 и q = 2. О такой неустойчивости отмечено в [4], а также в [6], при решении уравнений в частных производных. У алгоритма A нет такой неустойчивости. Например, для 2N + 1 = 129 при переходе от q = 0 к q = 1 (см. рис. 2), точность увеличилась в 500 раз на отрезке [-1,1] и в 100 раз - на отрезке [-1/2,1/2].

   Рис. 2. Логарифмы обратных величин абсолютных ошибок после применения
алгоритмов A, B и C для примера 2.1, для различных значений q и N, когда a О [2,3],
b = a²  x О [-1,1] (наверху) и x О [-1/2,1/2] (внизу).

    При решении дифференциальных уравнений ФБ-эффект усиливается, по сравнению с интерполяцией функции, в том смысле, что он распространяется на весь отрезок [-1,1]. О существовании ФБ-эффекта в алгоритмах A, B и C на отрезках [-1,1] и [-1/2,1/2] свидетельствует тот факт, что алгоритм A, - для данного N и q, - дает существенно лучшую точность, чем алгоритмы B и C, несмотря на то, что он использует приближенные значения скачков правой части, которые значительно отличаются от точных значений. Аналогичное преимущество имеет алгоритм B по отношению к C.
   На отрезке [-1/2,1/2] алгоритм C уступает по точности алгоритмам B и A почти для всех q и N. Например, при q = 0 и 2N + 1 = 129 (рис. 2) - в 6 и 3 раза, при q = 1 и 2N + 1 = 129 - в 3 и 500 раз, a при q = 2 и 2N + 1 = 129 - в 7 и 70 раз соответственно. Аналогичное отставание по точности и у алгоритма C на отрезке [-1,1]. Например (рис. 2), при q = 0 и 2N + 1 = 129 алгоритм C уступает по точности алгоритмам B и A на [-1,1] в 4-5 раз, a при q = 1 и 2N + 1 = 129 - в 2 и 3000 раз соответственно.
    При q = 0 точность алгоритмов A и B, как правило, примерно одинакова. Однако ситуация меняется при q і 1, когда алгоритм B уступает по точности алгоритму A, а в некоторых случаях - на несколько порядков.
    Из рис. 1 и 2 хорошо видно, что при q і 3 уже накапливаются ошибки округления. Этого можно частично избежать: либо соответствующим выбором функций j_m(x) и y_m(x), либо нахождением скачков производных правой части одним из способов, предложенных в [5-8].

   Институт математики НАН РА