МАТЕМАТИКА

УДК 517.57

К. Л. Аветисян

О неравенствах типа Литтлвуда - Пэли

(Представлено академиком Н.У. Аракеляном 22/XII 2000)

   1. Пусть Rn - n-мерное евклидово пространство, и пусть x = (x1,..., xn) О Rn, |x|2 = x12 + ј + xn2,  dx = dx1 ј dxn. Обозначим через R+n+1 верхнее полупространство пространства Rn+1, т.е. R+n+1 = Rn × (0,Ґ). Точки этого полупространства будем представлять как (x,y) = (x1, ..., xn, y), x О Rn, y > 0.
   В монографии [1] И. Стейн распространил классическую g-функцию Литтлвуда-Пэли [2] для единичного круга на случай полупространства R+n+1 и привел ряд приложений к ней. Для интеграла Пуассона f(x,y) функции f(x) О Lp(Rn), 1 Ј p < Ґ, g-функция Литтлвуда-Пэли в R+n+1 определяется как нелинейный оператор следующего вида:
g(f)(x) = ж
и 		у
х 		+Ґ

0 
 y|Сf(x,y)|2 dy ц
ш 		1/2
 
 ,     (1)

где С- градиент.
    Теорема  А. (Стейн [1])    Пусть 1 < p < Ґ, f(x) О Lp(Rn). Тогда g(f)(x) О Lp(Rn), причем существуют положительные постоянные C1 и C2, не зависящие от f, такие, что

C1||f||Lp Ј ||g(f)||Lp Ј C2||f||Lp.     (2)

   Кроме того, Стейн [1] отмечает, что g-функция и неравенства (2) могут быть обобщены на градиенты более высокого k-го порядка (k- целое, k > 1). С другой стороны, изучение различных весовых пространств голоморфных и гармонических функций приводит к необходимости обобщения g-функции и теоремы А на производные любого (дробного) порядка a > 0. Такое обобщение дал Флетт [3] для голоморфных в единичном круге функций.
   В настоящей заметке на полупространстве R+n+1 и посредством дробных производных произвольного порядка a > 0 определены функции gq,a(f) типа Литтлвуда-Пэли и обобщена теорема А.
   2. Для функции f(x,y), измеримой и комплекснозначной в R+n+1, введем в рассмотрение оператор дробного интегродифференцирования Римана-Лиувилля (называемый также потенциалом Рисса):

D-af(x,y) = 1
G(a)
 у
х 		+Ґ

0 
 sa-1f(x,y + s)ds,

D0 f = f,   Daf(x,y) = (-1)mD-(m-a) m
ym
 f(x,y),
где a > 0, а m- целое, m-1 < a Ј m.
   Ядро Пуассона в верхнем полупространстве дается формулой

P(x,y) = kn y
(|x|2 + y2)(n+1)/2
 ,      kn =
G ж
з
и 		n + 1
2
 ц
ч
ш
 p(n+1)/2


 .

   Символы C(a,b,...), ca обозначают различные положительные постоянные, зависящие только от указанных индексов a, b,.... Пусть Z+n+1 - множество всех мультииндексов l = (l1,..., ln, ln+1) с неотрицательными координатами lj О Z+, и пусть |l| = l1 + ј + ln + ln+1 и l = ([()/(x1)])l1 ј ([()/(xn)])ln([()/(y)])ln+1.
   3. Для a > 0, 0 < q Ј Ґ и функции f(x,y), заданной в R+n+1, определим g-функцию типа Литтлвуда-Пэли (ср. [1-3]):

gq,a(x) є gq,a(f)(x) = м
п
п
н
п
п
о
ж
и 		у
х 		+Ґ

0 
 yaq-1|Daf(x,y)|q dy ц
ш 		1/q
 
 , 0 < q < Ґ,

ess sup  ya|Daf(x,y)|,                           q = Ґ.
  y > 0

   Легко видеть, что при q = 2 и a = 1 функция gq,a(f) соответствует классической g-функции (1) (с производной по y вместо градиента).
   Для формулировки основного результата понадобятся следующие вспомогательные леммы.
   Лемма 1. Если a > 0,  l О Z+n+1, то справедливы оценки

|DaP(x,y)| Ј C(a,n) 1
(|x| +y )a+n
 ,      x О Rn,  y > 0,
|lP(x,y)| Ј C(l,n) 1
(|x| + y)|l|+n
 ,      x О Rn,  y > 0.
В частности, если a і 1, то
|DaP(x,y)| Ј C(a,n) P(x,y)
ya
 ,      x О Rn,  y > 0.
   Лемма 2. Пусть f(x,y) - гармоническая функция в R+n+1 и 0 < p,q Ј Ґ, a > 0. Тогда

|Daf(x,y)| Ј C(p,q,a,n) ||gq,a(f)|| Lp
ya+n/p
       x О Rn,  y > 0.     (3)

   Лемма 3. Пусть b > 0, и f(x,y) - гармоническая функция в R+n+1 такая, что Dbf(x,y) = o(1) равномерно в Rn при y ® +Ґ. Если 1 Ј p Ј q < Ґ,  a > 1/p-1/q либо 1 < p Ј q < Ґ,  a = 1/p-1/q, то

gq,b(f)(x) Ј C(a,b,p,q) gp,b+a(f)(x),      x О Rn.     (4)

   Неравенство (4) аналогично известному неравенству Харди (см. [1]) и позволяет свести доказательство нижеследующей теоремы 1 к случаю целых a. Отметим, что условие в лемме 3, наложенное на Dbf(x,y), обеспечивает обратимость оператора Da.
   Лемма 4. Пусть a > 0, d > 0, и f(x,y) - гармоническая функция в R+n+1, и пусть

fd*(x) = sup
 {|f(x,h)|;  (x,h) О Gd(x)}
- ее некасательная максимальная функция, где

Gd(x) = {(x,h) О R+n+1;  |x - x| < dh}
- конус Лузина с вершиной в точке x О Rn. Тогда
|Daf(x,y)| Ј C(a,d) fd*(x)
ya
 ,      x О Rn,  y > 0.     (5)
Далее рассмотрим вариант интеграла площадей Лузина:
S(f)(x) = ж
з
и
у
х
G1 
у
х
(x) 
 h1-n к
к
к 		u(x,h)
h
 к
к
к 		2

 
 dxdh ц
ч
ш 		1/2

 
 ,      x О Rn,
где интеграл распространен по всему конусу Лузина G1(x).
   Лемма 5. Справедлива оценка (k і 1)
g2,k(f)(x) Ј C(n,k) S(f)(x),      x О Rn.     (6)
Случай k = 1 см. в [1].
   Теорема 1. Если a > 0, 1 < p < Ґ, 2 Ј q < Ґ, и f(x,y) - интеграл Пуассона функции f(x) О Lp(Rn), то
||gq,a(f)||Lp Ј C(p,q,a,n)||f||Lp.     (7)

   Если a і 1, то теорема верна и при q = Ґ. Отметим, что в отличие от Флетта [3] доказательство теоремы 1 основано на применении сильных интерполяционных теорем типа Рисса-Торина.
   Теорема 2. Пусть a > 0, 1 < p < Ґ, и 0 < q Ј 2. Если f(x,y) - гармоническая в R+n+1 функция, равномерно стремящаяся к нулю при y ® +Ґ, и gq,a(f) О Lp(Rn), то f(x,y) является интегралом Пуассона некоторой функции f(x) О Lp(Rn), причем

||f||Lp Ј C(p,q,a,n)||gq,a(f)||Lp.     (8)

   Ереванский государственный университет
   Институт математики НАН Армении

Литература

   1. Стейн И. M. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир. 1973.
   2. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2. М.: Мир. 1965.
   3. Flett T. M. Pacific J. Math. (1968). V. 25. P. 463-494.