где ||.||₁ и ||.||₂ - нормы в L₂(R^m) и L₂(D_N/2) соответственно.
   Таким образом, F : L₂(R^m) ® L₂(D_N/2) и Y : L₂(D_N/2) ® L₂(R^m), причем отображение F изометрично, а Y не увеличивает норму. На самом деле отображение Y есть обратное к F, что является следствием следующего, более общего, результата.
   Теорема 5. Пусть отображение F₁ соответствует базовой функции q₁, определяемой m₁ согласно (9), а отображение Y₂ - базовой функции q₂, определяемой m₂. Предположим, что q₁ удовлетворяет условиям леммы 4, q₂ - условию (3). Тогда

причем |s₁₂(l)| Ј 1 и только при m₁ є m₂ имеем s₁₂(l) є 1.
   Оказывается, что отображения F и Y являются аппроксимациями классического преобразования Фурье (соответственно прямого и обратного).
   Теорема 6. Пусть m(l) О L₂(R^m) и выполнено условие (3). Тогда для любого f О L₂(R^m)

(24)

где в Ff использовано сужение f(l) на D_N/2, а ||.||₁ и f^N(l) определены, как в леммах 4 и 5.
   Теорема 7. Пусть g О L₂(R^m) и выполнено условие (3). Тогда

||ğ - Yg||2 Ј ||ğ(l)(1 - d2(l)-1/2     m(l/N)   )||2 + ||d2(l)-1/2    Ґ  ~ е s=-Ґ  ğ(l + Ns) m(l/N + s)   ||2 Ј ж и у х DN/2  |1 - d2(l)-1/2m(l/N)|2dl ц ш ||g||1 + у х Rm\DN/2  |g(x)|2dx,

(25)

где ,  ||.||₁ и ||.||₂ определены, как в теореме 1 и лемме 4 соответственно.
   Следующие двойственные представления операторов F и Y вытекают из формулы (13).
   Теорема 8. В условиях леммы 3 для любых f О L₂(D_N/2) и g О L₂(R^m)

(Ff)x = Ґ е s=-Ґ  r(Nx - 2s) у х DN/2  eip < l,2s/N > d2(l)-1/2f(l)dl,

(26)

(Yg)(l) = d2(l)-1/2 Ґ е s=-Ґ  eip < l,2s/N > у х Rm  r(Nx - 2s)g(x)dx.

(27)

   5. Общеизвестна фундаментальная роль экспоненты Фурье e^ixl как в теоретических, так и прикладных дисциплинах. Достаточно упомянуть аппарат рядов и преобразований Фурье, чтобы подчеркнуть важность оптимизации вычислительных процессов, связанных с экспонентой. Такой современный метод разработки быстрых алгоритмов, как теория вейвлетов, по сути, связан с анализом Фурье, т. е., в конечном счете, с той же экспонентой (см., например, [4-6]).
   Приведенный подход основан на общем методе работы [6]. Исходное представление квазиэкспоненты (4) удобно для оценки ошибки от замены экспоненты квазиэкспонентой, в то время как формула (13) гораздо эффективнее для вычисления значений квазиэкспоненты и может служить основой быстрых алгоритмов, поскольку, с одной стороны, она содержит оператор дискретного преобразования Фурье, а с другой - сжатия и сдвиги определенной функции r. Понятно, что случай, когда r(x) имеет финитный ("почти финитный" - относительно заданной точности) носитель, наиболее интересен. Отметим, что при целом l приведенные результаты содержат схему построения периодических вейвлетов на отрезке [-1,1] (см. [2], a также [3-5]).
   Возможности приложения свойств квазиэкспоненты довольно многообразны. Здесь мы не будем их перечислять, а укажем только алгоритмы быстрого вычисления рядов и классических преобразований Фурье (см. теоремы 5-8), а также дискретных преобразований Фурье на неравномерных сетках (НДПФ)(см. теорему 1).
   В последнем случае предлагаемая схема, в отличие от известных (см. [7,8]), позволяет практически точно оценить ошибку от замены экспоненты квазиэкспонентой. Реализованы соответствующие быстрые НДПФ-алгоритмы, ориентированные на заданную точность.
   Численные эксперименты подтверждают перспективность эффективного применения квазиэкспоненты в ряде других задач.