УДК 621.39.1:519.24

    Статья посвящена бесконечномерной алгебраической топологии, а именно построению бесконечномерных относительных гомотопических групп пунктированных пар подмножеств вещественного (необязательно сепарабельного) гильбертова пространства H. В основе всех построений лежат два специальных класса K₀ М K непрерывных подмножеств из H [1-3].
    В пункте 1 даны определения допустимых классов K₀ и K, а также некоторые сведения об отображениях, принадлежащих этим классам. Ряд основных свойств этих классов в частности содержится в [1-6].
   В пункте 2 описывается один (назовем первым) подход к построению бесконечномерных относительных гомотопических групп пар подмножеств из H, называемых K₀ (соотв. K) - бесконечномерными гомотопическими группами. В целях более эффективных приложений, потребовав от сфероидов и их гомотопий удовлетворения некоторым условиям типа компактности, также определяются так называемые K₀ (соотв. K) - бесконечномерные гомотопические группы компактного типа.
    В пункте 3 в случае сепарабельности пространства H описывается второй подход к построению бесконечномерных гомотопических групп некомпактного типа, основанный на понятии ортонормированного базиса пространства H. Согласно теореме 3 рассматриваемые два подхода эквивалентны, т.е. приводят к изоморфным группам.
    1. Допустимые отображения. Как уже отмечалось в введении, во всех построениях допустимыми отображениями будут непрерывные отображения, принадлежащие специальным классам K₀ и K, а также целому ряду классов, построенных посредством K₀ и K. Зафиксируем вещественное гильбертово пространство H.
   Определение 1. Пусть G - открытое подмножество пространства H, f : G®H лежит классу K или является K-отображением (относительно H), если выполнено условие:
   а) для любой точки x₀ О G и любого вещественого числа e > 0 существуют окрестность U=U(x₀,e) М G точки x₀, конечномерное (линейное) подпространство L=L(x₀,e) пространства H и действительное число l такие, что если точки x, y О U и вектор (x-y) ортогонален к L, то выполнено соотношение:
 

||f(x) - f(y) - l(x - y)|| Ј e||x - y||.

   Далее будем говорить, что K-отображение f : G ® H принадлежит классу K₀ или является K₀-отображением, если выполнено:
   b) (локальное удовлетворение условию Липшица) для любой точки x₀ О G существуют такие числа r = r(x₀) и c = c(x₀), что при x, y О G, ||x-x₀|| < r, ||y-x₀|| < r выполнено соотношение
 

    Фигурирующее в а) действительное число l можно выбрать так, чтобы оно определялось только точкой x₀ и было пригодно для любого числа e > 0. Получающаяся таким образом действительная функция l(x) = l_f(x), заданная на G, непрерывна и единственна [2]; она называется терминальной производной отображения f. Отметим, что композиция двух K₀-отображений есть K₀-отображение, но композиция K-отображений не всегда есть K-отображение.
   Пусть теперь X - произвольное (необязательно открытое) подмножество из H. Будем говорить, что непрерывное отображение f : X ® H является K₀ (соотв. K)-отображением, если существует открытое в H подмножество и K₀ (соотв. K)-отображение , такие, что для каждой точки x О X. Если X и Y - подмножества из H и f : X®Y - непрерывное отображение, то f будем называть K₀ (соотв. K)-отображением X в Y, если отображение f : X ® H, т.е. композиция iof : X ® Y, где i : Y® H - вложение, является К₀ (соотв. K)-отображением. Через K₀(M) (соотв. K(M)) будем обозначать класс всех K₀ (соотв. K)-отображений гильбертова пространства M.
   2. Некоторые типы бесконечномерных гомотопических групп.
   В этом пункте мы снова будем предполагать зафиксированным действительное гильбертово пространство H. Напомним, что (линейное) подпространство M пространства H называется подпространством конечной коразмерности (или дефекта) q і 0, если ортогональное дополнение к M в H имеет размерность q. Нам, однако, понадобится ввести понятие надпространства пространства H коразмерности q, если q - отрицательное целое число. Именно, если q отрицательное целое число, то гильбертово пространство M мы будем называть по отношению к H надпространством коразмерности q, если M содержит H в качестве своего подпространства коразмерности q.
    Условимся через B(M), B^*(M) и S(M) обозначать соответственно единичные замкнутый, открытый шары и единичную сферу подпространства или надпространства M пространства H.
    Дадим теперь определение класса K^*_q, q О Z. При q=0 мы определим K^*₀ как множество всех отображений j : H ® H, принадлежащих классу K₀(H). Если q > 0, то под K^*_q мы будем понимать множество всех отображений j : M ® H, принадлежащих классу K₀(H), где M М H - подпространство коразмерности q. Наконец, при q < 0 под К^*_q мы будем понимать множество всех отображений j : M ® H, принадлежащих классу K₀ относительно гильбертова пространства M, являющегося надпространством коразмерности q пространства H.
   Пусть теперь M некоторое зафиксированное подпространство или надпространство конечной коразмерности q О Z пространства H. Выберем некоторый единичный вектор e О M и обозначим через M_e подространство M, ортогональное к прямой L_e, проходящей через e. Далее положим
 

   Пусть (X,A,x₀) тройка, состоящая из произвольного множества X М H, его подмножества A М X и точки x₀ О A.
    Определение 2. Отображение j : (M,M\B^*(M), J^e(M))® (X,A,x₀), принадлежащее классу K^*_q, будем называть (относительным) K₀-сфероидом коразмерности q О Z пары (X, A) в точке x₀ или тройки (X,A,x₀).
   Обозначим через F^M,e_q(X,A,x₀) множество всех K₀-сфероидов коразмерности q тройки (X,A,x₀) и в нем введем операцию сложения.
   Выберем некоторый единичный вектор a О M_e и для j,y О F^M,e_q(X,A,x₀) положим

   Так как отображения x® 2x + a и x® 2x - a принадлежат классу K₀, то h О F^M,e_q(X,A,x₀); K₀-сфероид h будем называть суммой сфероидов j и y и обозначать h = j + y.
   Определим теперь понятие гомотопности в F^M,e_q(X,A,x₀). Обозначим через R числовую прямую, а I - отрезок [0,1]. Декартово произведение M¢ = R x M можно рассматривать как гильбертово пространство, для которого M является подпространством коразмерности I. В случае q > 0 следует за R принять любую содержащуюся в H прямую, проходящую через нулевую точку 0 и ортогональную к M М H.
   Определение 3. Сфероиды j,y О F^M,e_q(X,A,x₀) будем называть K₀- гомотопными и записывать j @y, если существует отображение F : I x M ® X, обладающее свойствами:
    1) F принадлежит классу K₀ относительно гильбертово пространства M¢ И H;
    2) для любого t О I отображение j_t : M ® X, определяемое равенством j_t(x) = F(t; x), x О M, принадлежит множеству F^M,e_q(X,A,x₀);
    3) j₀ = j и j₁ = y.
    При этом отображение F, а также семейство (j_t) будем называть K₀- гомотопией сфероидов, соединяющей j и y. Ясно, что определяемое так понятие гомотопности является отношением эквивалентности, только в данном случае нужно каждый раз показать принадлежность отображений к классу K₀. Множество всех получаемых гомотопических классов будем обозначать через P^M,e_q(X,A,x₀). Введенная выше операция сложения сфероидов порождает сложение гомотопических классов по представителям в множестве P^M,e_q(X,A,x₀) по формуле [j]+[y]=[j+y]. Можно показать, что это сложение определено корректно, т.е. из (j ~ jў) и (y ~ yў) следует, что (j+y) ~ (jў+yў). В самом деле, соответствующую K₀-гомотопию получим, положив:

ht(x)= м п н п о jt(2x+a),   при    (x,a) Ј 0, yt(2x-a),   при    (x,a) і 0,

   Теорема 1. При любом целом q множество PM,eq(X,A,x0) относительно операции сложения [j]+[y] = [j+y] является коммутативной группой.
   Построенная группа обозначается через PM,e,aq(X,A,x0). В построении группы PM,e,aq(X,A,x0) участвуют три элемента выбора, а именно подпространство или надпространство M коразмерности q пространства H, единичный вектор e О M и единичный вектор e О Me. Из нижеследующих трех предложений следует независимость этой группы от элементов выбора.
   Предложение 1. При любом целом q группы PM,e,aq(X,A,x0) и PM,e,aўq(X,A,x0), построенные посредством различных единичных векторов a,aўО Me, изоморфны между собой.
   В силу предложения 1 запись PM,e,aq(X,A,x0) можно сократить до PM,eq(X,A,x0).
   Предложение 2. При любом целом q группы PM,eq(X,A,x0) и PM,e1q(X,A,x0), построенные посредством различных единичных векторов e,eўО M, изоморфны.
   В силу предложения 2 можно обозначение PM,eq(X,A,x0) сократить до PMq(X,A,x0).
   Предложение 3. Пусть M1 и M2 два различных подпространства или надпространства одной и той же коразмерности q О Z пространства H. Тогда группы PM1q(X,A,x0) и PM2(X,A,x0) изоморфны между собой.
   Таким образом, при q О Z с точностью до изоморфизма группы PMq(X,A,x0) не зависит от выбора M, и мы можем в обозначении букву M опускать и обозначать через Pq(X,A,x0). Построенную группу Pq(X,A,x0) будем называть бесконечномерной (относительной) K0- гомотопической группой (некомпактного типа) коразмерности q О Z множества X в точке x0 относительно подмножества A или пары (x,a) в точке x0. В случае A = {x0} она называется (абсолютной) K0-гомотопической группой коразмерности q множества X в точке x0 и обозначается через Pq(X,A,x0). В последнем случае K0-сфероиды суть K0-отображения j : (М,М \ B(M)) ® (X,x0).
   Перейдем теперь к определению бесконечномерных K0-гомотопических групп компактного типа.
   Определение 4. K0-сфероид j : (М,М \ B*(M)), Je(М)) ® (X,A,x0) коразмерности q О Z пары (X,A) точки x0 будем называть K0-сфероидом компактного типа, короче Kс0-сфероидом, если выполнено условиe:
   c) для любого компактного множества c М (X \ { x0}) множество j-1(c) З B(M) компактно, и если оно не пусто, то на нем терминальная производная lj(x) отображения j тождественно отлична от нуля.
   Аналогично определяются K0-гомотопия сфероидов F : I x M ® X компактного типа (короче Kc0-гомотопия сфероидов) и Kc0-гомотопность двух Kc0-сфероидов.
   Все описанные выше конструкции проходят и в том случае, когда K0-сфероиды и их K0-гомотопии заменяются Kc0-сфероидами и Kc0-гомотопиями сфероидов соответственно. В результате строятся новые группы, которые мы будем называть бесконечномерными K0-гомотопическими группами компактного типа, короче Kc0-гомотопическими группами, и обозначать через Pcq(X,A,x0).
   Наконец, если в основе всех вышеприведенных определений и конструкций вместо класса K0 положить класс K, то мы получим группы другого типа, которые будем называть бесконечномерными K-гомотопическими группами, соответственно K-гомотопическими группами компактного типа пары (X, A) в точке x0, и обозначать через KPq(X,A,x0) и KPcq(X,A,x0).
   Замечание 1. Для полной ясности можно было бы группу Pq(X,A,x0) обозначать через Pq(X,A,x0;H). В этой связи отметим, что если гильбертово пространство H является подпространством конечной коразмерности h і 0 пространства H*, то мы будем иметь Pq(X,A,x0;H) @ Pq+n(X,A,x0;H*) при любом q О Z. Далее, если гильбертовы пространства H1 и H2 таковы, что пространство H М H1 З H2 имеет одну и ту же конечную коразмерность относительно H1 и H2 и X М H, то при любом q О Z будем иметь: Pq(X,A,x0;H1) @ Pq(X,A,x0;H2). Приведенные соотношения имеют место и для упомянутых выше гомотопических групп других типов.
   3. Случай сепарабельного гильбертова пространства. В этом пункте рассматриваемое гильбертово пространство H сепарабельно. Пусть s = (en) - произвольный ортонормированный базис в H, a Sqs, Tqs : H ® H - линейные ограниченные операторы, определяемые по формулам