МАТЕМАТИКА

УДК 517.55

А. В. Арутюнян

Операторы Теплица и теоремы деления в анизотропных
классах голоморфных в полидиске функций

(Представлено академиком Н. У. Аракеляном 15/V 2000)

 

    1.1. Существенную роль в теории классов Харди и их многочисленных приложениях играет общеизвестная факторизация на внешние и внутренние функции. Как показали Б. И. Коренблюм [1], В. П. Хавин [2], Ф. А. Шамоян  [3], такая факторизация может быть успешно применена для исследования классов функций, голоморфных в круге и гладких вплоть до его границы. Результаты этих работ были основаны на том, что многие из классов указанного типа инвариантны относительно применения теплицевых операторов вида Th(f) = P+(f ∙ h), где h - любая функция, голоморфная и ограниченная в круге, а P+ - проектор М. Рисса.

    1.2. Пусть Un = {z = (z1,...,zn) О Cn : |zi| < 1, 1 £ i £ n} - единичный полидиск n-мерного комплексного пространства Cn, Tn = {z О Cn |zi| = 1, 1 £ i £ n} - его остов, H(Un) - множество голоморфных, a H¥(Un) - голоморфных и ограниченных в Un функций. Далее, пусть a = {a1,...,an}, где aj > -1 и 1 £ j £ n мультииндексы, и za = za11 ´ · · · ´ zann, (z = (z1,...,zn)). Через Hp(a1,...,an) будем обозначать класс голоморфных в Un функций f, для которых

где 1 £ p < + ¥, а m2n(z) 2n - мерная мера Лебега на Un. Отметим, что классы Hp(a1,...,an) - многомерные аналоги известных классов М.М. Джрбашяна [4,5].
    Всюду ниже будем полагать, что Zk+ - множество векторов, компоненты которых - натуральные числа, Rk+ - множество векторов с положительными компонентами и b = (b1,...,bn) (0 < bj < 1, 1 £ j £ n). Приведем определение многомерных липшицевых классов, введенных в [б].

    Определение 1.1. Измеримая, ограниченная на Tn функция f принадлежит классу если для любого вектора (i1,...ik) О Zk+  (1 £ k £ n)

                              

где      

 

где      

Далее, условимся полапать, что     и

       В [б] исследованы мультипликативные свойства классов и в терминах этих классов дано полное описание сопряженного пространства (Hp{a1,... ,an))* при 0 < р £ 1. Там же при целозначных bj(1 £ j £ n) дано и определение классов . Отметим, что классы ранее были исследованы С. М. Никольским [7] в случае, когда (hi1,..., hik) º (h1,..., hn).

   Определение 1.2. Оператор Теплица с символом  h О L1(Tn- это интегральный оператор

 

     В дальнейшем изложении использовано также следующее определение из [8], где для удобства изменено обозначение вводимого функционального класса.

   Определение 1.3. Суммируемая на Tn функция h принадлежит классу RL, если ее коэффициенты Фурье равны нулю вне множества Zk+ È -Zk+ .

    2. Данная статья посвящена исследованию дальнейших свойств классов . В нижеследующих теоремах 1 и 2, соответственно, установлено, что эти классы являются алгебрами и что они инвариантны при применении теплицевых операторов. Исходя из результатов [8], относящихся к ограниченности операторов Th(f) в Hp{a1,... ,an), доказана теорема 3, где дано описание тех символов , для которых Th(f) О Hp{a1,... ,an) при любом f О Hp{a1,... ,an). Наконец в качестве приложения теорем 2 и 3 к вопросам деления на внутреннюю функцию в пространствах и Hp{a1,... ,an) (0 < р £ 1) установлена теорема 4.

    Теорема 2.1. Классы La = (b1,...,bn)    являются алгебрами.

    Замечание. Классы La = (b1,...,bn) в отличие от , доказанным свойством не обладают. При этом существуют такие f, g О La = (b1,...,bn), что f · g Ï La = (b1,...,bn). Действительно, пусть n = 2 и g(z) = z1 · z2. Если f(z1, z2) = j(z1) + j(z2), где j1, 2   произвольные дифференцируемые функции, то, очевидно, Однако ясно, что f · g О La = (b1,...,b2) не для всех возможных j1 и j2.
    Напомним, что функция f называется мультипликатором пространства X, если f · g О Х при любом  g О X.

    Теорема 2.2. Пусть - любая функция и , где h1 голоморфный мультипликатор пространства , а  . Тогда  .
    Следующая теорема 3, доказанная на основе результатов [6] и [8], в терминах функций из классов характеризует множество символов h, при которых ограничен теплицев оператор в классах Hp(a1,...,an).

    Теорема 2.3. Пусть (0 < р £ 1) и h О RL любые. Тогда Th(f) О Hp(a1,...,an) только в том случае, когда справедливо представление , где h1 О H¥(Un), a   , где gj(1 £ j £ n) определены из равенств

 

при нецелых aj

при целых aj

    Перейдем к приложению установленных выше результатов к вопросам деления пространствах Hp(a1,...,an) и . Для этого сначала введем следующие общепринятые определения.

   Определение 2.1. Функция g О H¥(Un) называется внутренней, если для ее радиальных предельных значений |g*(w)| = 1 почти всюду на Tn.

    Определение 2.2. Внутреннюю функцию g О H¥(Un) будем называть хорошей, если u[g] = 0, u[g] - наименьшая n-гармоническая мажоранта функции log[g] в Un ([9]) .

    Теорема 4. Пусть a = (a1,...,an), b = (b1,...,bn), aj > -1 и 1 £ j £ n, 0 < bj< 1, 1 £ j £ n) и X обозначает какой-либо из классов Hp(a1,...,an) и . Далее, пусть f О X,  J - хорошая внутренняя функция, F О H¥(Un) и f = F · J. Тогда F О X.
  

    Ереванский государственный университет

Литература

1. Коренблюм Б. И. - Мат. заметки. 1971. Т. 10. № 1. С. 53-68.
2. Хавин В. П. - Зап. научн. семинаров ЛОМИ. 1971. Т. 22. С. 202-205.
3. Шамоян Ф. А. - Зап. научн. семинаров ЛОМИ. 1971. Т. 22. С. 206-208.
4. Джрбашян М. М. - ДАН Арм. ССР. 1945. Т. 3. № 1. С. 3-9.
5. Джрбашян М. М. - Сообщ. Ин-та математики и механики АН Арм. ССР. 1948. Вып. 2, С. 3-40.
6. Шамоян Ф. А., Арутюнян А. В. - Изв. НАН Армении, Математика. 1993. Т. 28. № 6. С. 50-68.
7. Никольский С. М. - Аппроксимация функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969.
8. Шамоян Ф. Л., Арутюнян А. В. - Изв. НАН Армении. Математика. 1995. Т. 30. № 2. С. 70-78.
9. Рудин У. - Теория функций в полидиске. М.: Мир. 1974.