УДК 517.55

    1.1. Существенную роль в теории классов Харди и их многочисленных приложениях играет общеизвестная факторизация на внешние и внутренние функции. Как показали Б. И. Коренблюм [1], В. П. Хавин [2], Ф. А. Шамоян  [3], такая факторизация может быть успешно применена для исследования классов функций, голоморфных в круге и гладких вплоть до его границы. Результаты этих работ были основаны на том, что многие из классов указанного типа инвариантны относительно применения теплицевых операторов вида T_h(f) = P₊(f ∙ h), где h - любая функция, голоморфная и ограниченная в круге, а P₊ - проектор М. Рисса.

    1.2. Пусть Uⁿ = {z = (z₁,...,z_n) О Cⁿ : |z_i| < 1, 1 £ i £ n} - единичный полидиск n-мерного комплексного пространства Cⁿ, Tⁿ = {z О Cⁿ |z_i| = 1, 1 £ i £ n} - его остов, H(Uⁿ) - множество голоморфных, a H^¥(Uⁿ) - голоморфных и ограниченных в Uⁿ функций. Далее, пусть a = {a₁,...,a_n}, где a_j > -1 и 1 £ j £ n мультииндексы, и z^a = z^a1₁ ´ · · · ´ z^an_n, (z = (z₁,...,z_n)). Через H^p(a₁,...,a_n) будем обозначать класс голоморфных в Uⁿ функций f, для которых

где 1 £ p < + ¥, а m_2n(z) 2n ^- мерная мера Лебега на Uⁿ. Отметим, что классы H^p(a₁,...,a_n) - многомерные аналоги известных классов М.М. Джрбашяна [4,5].
    Всюду ниже будем полагать, что Z^k₊ - множество векторов, компоненты которых - натуральные числа, R^k₊ - множество векторов с положительными компонентами и b = (b₁,...,b_n) (0 < b_j < 1, 1 £ j £ n). Приведем определение многомерных липшицевых классов, введенных в [б].

    Определение 1.1. Измеримая, ограниченная на Tⁿ функция f принадлежит классу если для любого вектора (i₁,...i_k) О Z^k₊  (1 £ k £ n)

где

 

где

Далее, условимся полапать, что     и

       В [б] исследованы мультипликативные свойства классов и в терминах этих классов дано полное описание сопряженного пространства (H^p{a₁,... ,a_n))* при 0 < р £ 1. Там же при целозначных b_j(1 £ j £ n) дано и определение классов . Отметим, что классы ранее были исследованы С. М. Никольским [7] в случае, когда (h_i1,..., h_ik) º (h₁,..., h_n).

    Теорема 2.1. Классы L^a = (b₁,...,b_n)    являются алгебрами.

    Замечание. Классы L^a = (b₁,...,b_n) в отличие от , доказанным свойством не обладают. При этом существуют такие f, g О L^a = (b₁,...,b_n), что f · g Ï L^a = (b₁,...,b_n). Действительно, пусть n = 2 и g(z) = z₁ · z₂. Если f(z₁, z₂) = j(z₁) + j(z₂), где j₁, ₂   произвольные дифференцируемые функции, то, очевидно, Однако ясно, что f · g О L^a = (b₁,...,b₂) не для всех возможных j₁ и j₂.
    Напомним, что функция f называется мультипликатором пространства X, если f · g О Х при любом  g О X.

    Теорема 2.2. Пусть - любая функция и , где h₁ голоморфный мультипликатор пространства , а  . Тогда  .
    Следующая теорема 3, доказанная на основе результатов [6] и [8], в терминах функций из классов характеризует множество символов h, при которых ограничен теплицев оператор в классах H^p(a₁,...,a_n).

    Теорема 2.3. Пусть (0 < р £ 1) и h О RL любые. Тогда T_h(f) О H^p(a₁,...,a_n) только в том случае, когда справедливо представление , где h₁ О H^¥(Uⁿ), a   , где g_j(1 £ j £ n) определены из равенств

при нецелых aj при целых aj

    Перейдем к приложению установленных выше результатов к вопросам деления пространствах H^p(a₁,...,a_n) и . Для этого сначала введем следующие общепринятые определения.

   Определение 2.1. Функция g О H^¥(Uⁿ) называется внутренней, если для ее радиальных предельных значений |g*(w)| = 1 почти всюду на Tⁿ.

    Определение 2.2. Внутреннюю функцию g О H^¥(Uⁿ) будем называть хорошей, если u[g] = 0, u[g] - наименьшая n-гармоническая мажоранта функции log[g] в Uⁿ ([9]) .

    Теорема 4. Пусть a = (a₁,...,a_n), b = (b₁,...,b_n), a_j > -1 и 1 £ j £ n, 0 < b_j< 1, 1 £ j £ n) и X обозначает какой-либо из классов H^p(a₁,...,a_n) и . Далее, пусть f О X,  J - хорошая внутренняя функция, F О H^¥(Uⁿ) и f = F · J. Тогда F О X.
  

    Ереванский государственный университет