УДК 5.44

    При исследовании многочастичных эффектов в твердых телах принципиальным становится вопрос о выяснении роли эффектов экранирования внешнего возмущения, налагаемого на систему. К настоящему времени хорошо изучены такие эффекты, как экранирование поля примеси, эффект Кона, возникновение гало заряда вокруг поля примеси и т. д. Эти явления объясняются перераспределением носителей заряда под действием внешнего возмущающего поля. Иначе говоря, в результате решения самосогласованной задачи показывается, что реально действующий на электрон потенциал равен отношению приложенного потенциала к функции диэлектрической проницаемости ФДП ,  зависящей от длины волны и частоты приложенного возмущения.
    Вместе с тем в последние десятилетия, благодаря технологическим возможностям получения низкоразмерных структур, появилось большое число теоретических и экспериментальных работ, посвященных их физическим свойствам (см. например [1,2]). Поэтому актуальным стал вопрос о вычислении ФДП таких систем. В частности, в работе [3] была вычислена ФДП размерно квантованной полупроводниковой пленки.
    Закон дисперсии (ЗД) электронов при решении подобного рода задач обычно рассматривается квадратичным. Между тем в ряде случаев (например в полупроводниковых соединениях типа A³B⁵) ЗД электронов является непараболическим [4]. Поэтому вызывает интерес исследование эффектов экранирования в системе электронов, имеющих непараболический ЗД.
    В предлагаемой работе рассмотрены эффекты экранирования в случае модели свободного электронного газа, ЗД которого совпадает по виду с релятивистским, с той лишь разницей, что роль скорости света играет некий параметр непараболичности s . Отметим, что такой выбор вида ЗД не случаен, так как, например, в двухзонном приближении для соединения InSb ЗД электрона по виду полностью совпадает с релятивистским (ЗД Кейна [4]). Роль скорости света в этом случае играет параметр взаимодействия зоны проводимости и валентной зоны s ~ 10⁸ см/с.
    В случае свободного электронного газа, находящегося под действием внешнего нестационарного возмущения, проблема нахождения Фурье-образа ФДП была решена Линдхардом [5]. Для было получено выражение

e( ® q   , w)=1+ 4pe2 q2 е   f( ® k   )-f( ® k   + ® q   ) E( ® k   + ® q   )-E( ® k   )-hw+iha  ,

(1)

где - функция распределения электронов, w и - соответственно частота и волновой вектор накладываемого на систему возмущения, медленно возрастающего с постоянной времени- ЗД электронов, а суммирование ведется по всем состояниям |> , как заполненным, так и пустым.
    Пусть ЗД имеет вид

E( ® k   )= Ц    h2k2s2+m2s4    ,

(2)

где s - параметр непараболичности, m - масса электрона. Формула Линдхарда для электронного газа с ЗД (2) в случае стационарного внешнего возмущения примет вид

e( ® q   , 0)=1+ 4pe2 q2 е     f( ® k   )-f( ® k   + ® q     )       Ц h2 ( + )2s2+m2s4   - Ц   h2k2s2+m2s4    .

(3)

Исследуем поведение этой функции при больших и малых значениях .

    (а).  При малых можем записать

E( ® k   + ® q   )-E( ® k   ) » ® q   ® С     E( ® k   )

(4)

и

f( ® k   )-f( ® k   + ® q   ) » - ® q   ¶f ¶E ® С     E( ® k   )  .

(5)

Переходя в (3) от суммирования к интегрированию, а также воспользовавшись (4), (5) и тем, что [5]

- ¶f ¶E » d(E-EF)  ,

(6)

для  можем записать

e( ® q   ,0) » 1+ l2 q2 ,

(7)

где l - постоянная экранирования, величина которой определяется плотностью состояний у уровня Ферми E_F

l2=4pe2N(EF)  ,

(8)

где

(9)

 

Величина E_F для газа с непараболическим ЗД определяется выражением

EF= Ц   p2Fs2+m2s4    ,

(10)

где

PF=(3p2n)1/3h  .

(11)

Учет непараболичности ЗД формально сохраняет вид при малых значениях (формула(7)), однако l, в отличие от электронного газа со стандартным ЗД, в этом случае имеет более сильную концентрационную зависимость, которая при E_F >> ms² переходит в l ~ n^2/3, в то время как для стандартного ЗД l ~ n^1/3. В частности, Фурье-образ экранированного потенциала кулоновского поля заряда, внесенного в электронный газ с непараболическим ЗД, имеет вид

U( ® q   )= 4pe2 l2+q2  ,

(12)

где l теперь уже определяется (8) и (9), т.е. поле экранируется быстрее.
    (б).  При больших значениях постоянная экранирования l становится функцией . Для исследования характера экранирования на малых расстояниях и при низких температурах (T® 0) необходимо в (3) перейти от суммирования к интегрированию по с учетом того, что функция распределения представляет собой Q-ступеньку. Результатом интегрирования является довольно громоздкое выражение, из которого, однако, можно заметить, что логарифмическая сингулярность, имеющая место в случае стандартного ЗД [5], здесь также сохраняется. Этого и следовало ожидать, поскольку для газа электронов с непараболическим ЗД поверхности Ферми сохраняют сферический вид, однако значения k_F теперь уже другие.
    Выражаю благодарность Э. М. Казаряну и А. П. Джотян за плодотворное обсуждение работы.

   Ереванский государственный университет

Литература

     1. Казарян Э. М., Энфиаджян Р. Л. - ФТП. 1972. T. 5. C. 2002.
     2. Maksym P., Chakraborty T. - Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65. P. 108.
     3. Мхоян К. А. , Саркисян А. А. - Уч. зап. ЕГУ. 1996. № 2. C. 37.
     4. Цидильковский М. - Электроны и дырки в полупроводниках. М.: Наука, 1972.
     5. Займан Дж. - Принципы теории твердого тела.  М.: Мир, 1966.