МЕХАНИКА

УДК 539.3

С.В. Саркисян

Оптимальная стабилизация колебаний оболочки
движущейся в ней жидкостью

(Представлено академиком В.С. Саркисяном 10/II 1999)

     Задачи колебаний цилиндрических тел с движущейся в них жидкостью в различных постановках рассматривались многими авторами. Наиболее полный обзор таких работ содержится в [1].
    В настоящей работе делается одна из попыток моделирования процессов, возникающих при движении крови в крупных артериях.
   Артерия представляется в виде бесконечно длинной анизотропной (имеющей одну плоскость упругой симметрии) упругой цилиндрической оболочки радиуса R и толщины h. Жидкость предполагается ньютоновской, несжимаемой и идеальной, а ее движение - ламинарным и осесимметричным.
    Согласно этим предположениям и пренебрегая тангенциальными инерционными силами, уравнения колебаний оболочки имеют вид [2] 


C11 2u
x2
 +C16 2v
x2
 + C12w
Rx
 =0,
C16 2u
x2
 +C66 2v
x2
 + C26w
Rx
 =0,
-D11 4w
x4
 + 2D163v
Rx3
 + C26v
Rx
 + C12u
Rx
 + C12
R
 w-P=rh 2w
t2
 .
(1)

    где u(x,t), v(x,t), w(x,t) - перемещения точек срединной поверхности, Dij=[(h3)/12]Bij, Cij=hBij - коэффициенты упругости, P - давление жидкости на стенку сосуда, r - плотность материала оболочки.
   Усредненные уравнения движения и неразрывности жидкости берутся в известном виде [1-3], с учетом начальной скорости движения жидкости V0.



P
r1x
 + V
t
 +V0 V
x
 =0,
V
x
 + 2w
Rt
 + 2V0w
Rx
 =0.
(2)

Здесь r1 - плотность жидкости, V - текущая скорость движения жидкости.
   Задача оптимальной стабилизации заключается в следующем: найти такую оптимальную скорость движения жидкости, которая стабилизировала бы колебания оболочки,

(3)

минимизируя целевой функционал

J=K+P+ c1
r
 Ґ
у
х
0 
 Ґ
у
х
0 
 P2dxdt,
(4)
представляющий собой сумму кинетической, потенциальной энергий и стабилизирующего воздействия давления жидкости на стенку сосуда.
   Предполагается, что в начальный момент времени заданы прогиб и скорость точек срединной поверхности оболочки
  

(5)

    Решение систем уравнений (1) и (2) для каждого волнового числа k ищется в виде

u=a(t)e-ikx, v=b(t)eikx, w=f(t)e-ikx,
V=g(t)eikx, P=p(t)eikx.
(6)
   Используя (6), переменные в системе уравнений (1) разделяются и система приводится для каждого k к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка относительно времени:

(7)

где

Ak= 1
ph
 м
н
о 		D11k4+ 2D16
R2
 . C12C16-C11C26
C11C66-C216
 k2- 2C12C16C26-C12C266+C22R-C11C226
R2
 ь
э
ю

Вводя принятые обозначения

(8)

 

 

и поступая известным образом, как например в [4], уравнение (7) приведется к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно времени:

  

(9)

 

    Целевой функционал (4) в обозначениях (8) примет вид

J= Ґ
у
х
0
 
 (Mkx21+Nkx22+c1u2)dt.
(10)

   Для решения задачи оптимальной стабилизации вводится функция Ляпунова - положительно определенная квадратичная форма  

V=C1x21+2C2x1x2+C3x22,
(11)

где коэффициенты Ci (i = 1,2,3) удовлетворяют известным условиям Сильвестра [5]

C1 > 0, C1C3-C22 > 0.
(12)
    Из (11) и уравнений Ляпунова - Бельмана определяется оптимальное управление

u°=- 1
c1
 (C2x1+C3x2)
(13)
или
   

 (14)

    Используя известную теорему Ляпунова об асимптотической устойчивости для определения неизвестных коэффициентов Ci (i = 1,2,3) из (11), получим

Mk+ ж
з
и 		1
c1
 -2Ak ц
ч
ш 		C2- 2C22
c1
 =0,
C1-AkC3- 2C2C3
c1
 =0,
Nk+C2- C23
c1
 =0
(15)
   Подставив u0 из (14) в (7), для оптимального прогиба f получим

(16)
 

где F0, f0 - постоянные, которые определяются из начальных условий.
    Подставив (16) в (14), определим зависимость оптимального управления u0, т. е. оптимального давления P0 от времени.
    Из уравнений (2) и представлений (6), произведя аналогичные действия, как и выше, получим дифференциальные уравнения, из которых определится оптимальная скорость движения жидкости:

(17)

    Таким образом, найдена оптимальная скорость движения жидкости в оболочке, стабилизирующая ее колебания.
 

   Ереванский государственный университет  
 

Литература

     1. Кокс Р.Г. В кн.: Гидродинамика кровообращения. М.: 1971. 269 с.
     2. Саркисян С.В. - Уч. зап. ЕГУ. 1985 (158). № 1. С. 43-49.
     3. Амбарцумян С.А., Мовсисян Л.А. - Механика полимеров. 1978. № 4. С. 696-701
     4. Саркисян С.В. - Актуальные проблемы неоднородной механики. Материалы Всесоюзного научного семинара. Ереван, 1991. С. 366 - 373.
     5. Летов А.В. - Автоматика и телемеханика. 1960. Т.21. № 4-6.