УДК 514.752

        Римановы Ric-полупараллельные пространства, характеризуемые полупараллельностью тензора Риччи R₁(R(X,Y) ∙ R₁ = С_XС_YR₁ - С_YС_XR₁ - С_[X,Y]R₁ = 0,R(X,Y) - операторы кривизны) являются естественными обобщениями симметрических (СR = 0, где R - тензор кривизны), эйнштейновых (R₁=lI, l = const), полусимметрических (R(X,Y) ∙ R = 0) пространств и римановых пространств с параллельным тензором Риччи (СR₁ = 0). В этой связи Ric-полупараллельные пространства и их изометрические погружения стали предметом интенсивного исследования на протяжении последних тридцати лет (см. обзор [1]). Общая структурная теорема для Ric-полупараллельных пространств, доказанная автором в [2], гласит, что риманово пространство M класса C^Ґ удовлетворяет условию R(X,Y) ∙ R₁ = 0 тогда и только тогда, когда оно либо двумерно, либо эйнштейново, либо полуэйнштейново, либо локально является произведением таких пространств.
   Классификационные задачи были решены сначала для гиперповерхностей, удовлетворяющих некоторым более сильным условиям, чем условие Ric-полупараллельности. Локальная классификация эйнштейновых гиперповерхностей в евклидовом пространстве E_n давно известна (см. [3]). В пространстве постоянной кривизны M_n(c)  (c № 0) локальная классификация эйнштейновых гиперповерхностей дана А. Фиалковым [4]. Полные среди них классифицированы П. Раяном [5], который также классифицировал гиперповерхности с параллельным тензором Риччи в M_n(c)[6]. В E_n полные гиперповерхности с типовым числом t(x) і 3, удовлетворяющие условию R(X,Y) ∙ R = 0, классифицированы К. Номидзу [7]. Полная классификация таких гиперповерхностей в E_n (без условия t(x) і 3) дана З. Сабо [8]. Локальная классификация гиперповерхностей, удовлетворяющих условию R(X,Y) ∙ R = 0, в E_n получена Й. Депри [9] на основе классификации гиперповерхностей, удовлетворяющих условию   где a₂ - вторая фундаментальная форма, а - оператор кривизны связности Ван дер Вардена - Бортолотти. Подмногообразия, удовлетворяющие условию   называются полупараллельными [9] или полусимметрическими [10]. В силу импликации полупараллельные подмногообразия имеют внутреннюю геометрию полусим-метрического риманова пространства. В пространствах ненулевой постоянной кривизны гиперповерхности, удовлетворяющие условию R(X,Y) ∙ R = 0 классифицированы П. Раяном [5]. Более того, в [6] им было доказано, что в M_n(c)(c№ 0) для гиперповерхностей условия R(X,Y) ∙ R = 0 и R(X,Y) ∙ R₁=0 эквивалентны.
   В настоящей работе дается полная локальная классификация и геометрическое описание Ric-полупараллельных гиперповерхностей в евклидовом пространстве E_m+1, которая в совокупности с указанными выше классификационными реультатами других авторов завершает классификацию Ric-полупараллельных гиперповерхностей в пространствах постоянной кривизны.
   Приведем сначала определение полуэйнштейновых пространств и конусов над римановыми пространствами.
   Пусть M - риманово пространство, а x О M - произвольная точка. Подпространство T_x⁽⁰⁾ касательного пространства T_x(M), определенное равенством T_x⁽⁰⁾ = {X О T_x(M); R(X,Y) = 0 "Y О T_x(M)}, называется пространством дефектности в точке x, а его размерность - индексом дефектности. Пространство T_x⁽⁰⁾ было определено С. Чженем и Н. Кюйпером [11]. Распределение T⁽⁰⁾ инволютивно и вполне геодезично. T_x⁽⁰⁾ всегда содержится в подпространстве собственных векторов тензора Риччи R₁, отвечающих нулевому собственному значению. Его ортогональное дополнение T_x⁽¹⁾ в T_x(M) инвариантно относительно всех операторов R(X,Y) и тензора R₁. Риманово пространство M с ненулевым индексом дефектности в каждой точке x называется полуэйнштейновым, если тензор Риччи R₁ на каждом инвариантном подпространстве T_x⁽¹⁾ имеет только одно ненулевое собственное значение [2].
   Пусть R⁺ обозначает положительную полуось и пусть - некоторое риманово пространство с метрикой   Многообразие   наделенное метрикой называется конусом (с одномерными образующими) над
   Справедлива следующая классификационная
   Теорема. Гиперповерхность M в евклидовом пространстве E_m+1 удовлетворяет условию R(X,Y) ∙ R₁=0 тогда и только тогда, когда она является открытой частью либо
(1) гиперсферы S^m в E_m+1, либо
(2) гиперконуса вращения C^m в E_m+1, либо
(3) произведения Sⁿ x E_m-n, где Sⁿ - гиперсфера в E_n+1, а E_m-n - (m-n)-мерная плоскость, n=2, ј, m-1, либо
(4) произведения Cⁿ?E_m-n, где Cⁿ - гиперконус вращения в E_n+1, а E_m-n - (m-n)-мерная плоскость, n=2, ј, m-1, либо
(5) гиперповерхности ранга Ј 2, либо
(6) полуэйнштейновой гиперповерхности K^m в E_m+1(m і 5), характеризуемой следующими свойствами: (а) K^m несет трехкомпонентную сопряженную систему, состоящую из двух сфер S^p(r₁) (p і 2), S^q(r₂)(qі 2) и прямой L, причем секционые кривизны между сферами S^p(r₁) и S^q(r₂) отрицательны, (б) прямое произведение S^p(r₁) x S^q(r₂) является эйнштейновым подмногобразием с положительной эйнштейновой константой в E_m+1 и принадлежит гиперсфере S^m(r) М E_m+1, радиусы r₁, r₂, r - линейные (не постоянные) функции на L и r²=r²₁+r²₂, (в) в каждой точке x О K^m тензор Риччи имеет на прямой L нулевое собственное значение, а в ортогональном (m-1)-мерном направлении, т.е вдоль произведения S^p(r₁) x S^q(r₂), он имеет только одно отрицательное собственное значение, (г) K^m представляет из себя конус с одномерными плоскими образующими (прямая L в качестве образующей в каждой точке) над эйнштейновым подмногообразием S^p(r₁) x S^q(r₂), (д) условие p=q необходимо и достаточно, чтобы гиперповерхность K^m была минимальной, либо
(7) произведения Kⁿ x E_m-n, где Kⁿ - полуэйнштейнова гиперповерхность в E_n+1, описываемая, как и K^m, в п. (6), а E_m-n- (m-n)-мерная плоскость, n=5,ј, m-1.
   При доказательстве этой теоремы существенно используются результаты автора о конусах с многомерными плоскими образующими над эйнштейновыми пространствами [12,13].

   Государственный инженерный университет Армении
 
 

     1. Мирзоян В.А. - Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Проблемы геометрии. 1991. Т.23. С. 29-66.
     2. Мирзоян В.А. - Изв. вузов. Математика. 1992. № 6. С. 80-89.
     3. Кобаяси Ш., Номидзу К. - Основы дифференциальной геометрии. Т. 2. М.: Наука, 1981.
     4. Fialkow A. - Ann. Math. 1938. V. 39. P. 762-785.
     5. Ryan P.J. - Tôhoku Math. J. 1969. V. 21. P. 363-388.
     6. Ryan P.J. - Osaka J. Math. 1971. V. 8. № 2. P. 251-259.
     7. Nomizu K. - Tôhoku Math. J. 1968 V. 20. № 1. P. 46-59.
     8. Szabo Z.I. - Acta Sci. Math. 1984. V. 47. № 3-4. P. 321-348.
     9. Deprez J. - Rend. semin. mat. Univ. politecn. Torino. 1986. V. 44. № 2. P. 303-316.
     10. Лумисте Ю.Г. - Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Проблемы геометрии. 1991. Т. 23. С. 3-28. № 2. P. 251-259.
     11. Chern S.S., Kuiper N. - Ann. Math. 1952. V. 56. № 3. P. 422-430.
     12. Мирзоян В.А. - ДНАН Армении. 1998. Т. 98. № 4. С. 265-268.
     13. Мирзоян В.А. - Изв. НАН Армении. Математика. 1998. Т. 33. № 5. С. 40-46