УДК 239.374

    Рассматривается задача малонапряженности при продольном сдвиге составного клина, изготовленного из n призматических тел, материалы которых упрочняются по степенному закону s₀=ke^m₀, где s₀ и e₀ интенсивности напряжений и деформаций, параметр m для всех материалов принимается одинаковым, а модули деформации k - различными.
   Проблема малонапряженности клина, составленного из двух линейно-упругих материалов, впервые исследована в [1]. Для упрочняющихся тел такая задача рассмотрена в [2].
   Разберем отдельно случай, когда внешние края составного клина свободны от внешних сил (открытый клин), и случай, когда не имеется внешних радиальных краев, т.е. угловая точка находится внутри тела (закрытый клин). Задача исследуется без допущения о знакопеременности перемещения.
   Углы при вершинах составляющих клиньев обозначим через a₁,a₂,ј,a_n. Полагаем также A_i=a₁+a₂+ј+a_i, причем A₀=0 и i=1,2,јn.
   В окрестности угловой точки для каждого составляющего клина решение ищем в форме

причем i=1,2,јn, f_i=f_i(q,l) система искомых функций, l неопределенный параметр, играющий роль собственного значения.
   Подставляя выражения компонентов напряжений (1) в третьем уравнений равновесия, приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

причем i=1,2,ј,n-1, j₁=0, j_n=a_n. Полученная система (10) содержит n-1 уравнений с n-1 неизвестными постоянными j₂, j₃,ј,j_n-1,l.
Исключая последовательно из этих уравнений j_i, приходим к трансцендентному уравнению относительно l.
   Перейдем к нелинейной задаче; полагая l = 1, затем принимая n_i-1= tgj_i согласно (11) и m_i= tg(j_i-a_i) согласно (13), из (7) приходим к следующей системе уравнений:

причем i=1,2,ј,n-1. Полученная система состоит из n-1 уравнений с n-2 неизвестными постоянными j_i. После исключения этих неизвестных в принципе проходим в 2n-мерном пространстве параметров    a₁,a₂,ј,a_n;d₁,d₂,ј,d_n-1m к уравнению гиперповерхности конечных напряжений.
   Интегрируя уравнения (7), получаем

которые совместно с уравнениями (7) при i=1,2 составляют систему из 5 уравнений, определяющую l = l(a,b,g,d₁,d₂,m). Полагая также в (15) n=3, j₂=j, будем иметь систему уравнений

определяющую в координатном пространстве abg поверхность конечных напряжений, отделяющую зону малонапряженности от зоны концентрации напряжений.
   2. Закрытый клин. В этом случае тело состоит из n составляющих клиньев из различных материалов, соединенных по n контактным поверхностям (рис.2). В каждом составляющем клине решение представляется в виде (5), причем здесь A_n=2p и имеем n контактных условий

причем i=1,2,ј,n. Таким образом (18) и (19) образуют систему из 2n уравнений с 2n+1 неизвестными постоянными m₁, m₂,ј, m_n; n₁,n₂,ј, n_n, l.
   Для получения недостающего уравнения используем условия непрерывности перемещения на контактных поверхностях. Выражения f_i, предстaвленные в (16)-(17), удовлетворяют этим условиям на n-1 контактных поверхностях. На контактной же поверхности q = 2p, 0 имеем условие

fn(2p)=f1(0).

   Подставляя в это условие f_n и f₁ из (16), получаем

n е i=1 Ai у х Ai-1 yidq = 0.

(20)

   Таким образом, система уравнений (18)-(20) в принципе определяет l-

l = l(a1, a2,ј,an,d1,d2,ј,dn,m),

следует отметить, что число независимых параметров будет 2n-1, поскольку

a1+a2+ ј+an=2p   и   d1d2јdn=1.

   Выражая в (5) постоянные H_i через m_i, будем иметь

arctg yi l - arctg mil+ 1-l w ж з и arctg yi w - arctg m3 w ц ч ш =Ai-q,

(21)

причем i=1,2,ј,n и A_n=2p.
   Для линейно-упругих материалов, m=1, вводя новые неизвестные постоянные j_i,

mi=l tg lji,

(22)

где i=1,2,ј,n. Из (19) получаем

ni-1=l tg \l(ji+ai).

(23)

   Подставляя эти значения m_i и n_i в уравнения (18), при m=1 получаем

tg lji-di tg  l(ji+1+ai+1)=0,

(24)

причем i=1,2,ј,n и j_n+1=j₁, a_n+1=a₁. Система (24) состоит из n уравнений с неизвестными постоянными j₁,j₂,ј,j_n. Далее полагая в (21) m=1, находим

yi=l tg  l(ji+Ai-q),

(25)

где i=1,2,ј,n. Подставляя (25) в условие (20), будем иметь

n Х i=1 (coslai+sinlai tg lji)=1

(26)

Исключая из (21) и (26) j_i, приходим к трансцендентному уравнению относительно

l = l(a1, a2,ј,an;d1, d2,ј,dn).

   Возвращаясь к нелинейной задаче, положим l = 1. Далее, из (22)-(23) определяя

mi= tg  ji,     ni-1= tg  (ji+ai),

причем i=1,2,ј,n и подставляя в (18), будем иметь

tg yi|cosji|1-m-di tg (ji+1+ai+1|cos(ji+1+ai+1)|1-m=1.

(27)

Здесь i=1,2,ј,n, а также j_n+1=j₁,  a_n+1=a₁.
   Система уравнений (27) содержит n неизвестных постоянных j_i.
   Далее принимая l = 1 и используя (22), из (21) находим

ji= tg  (Ai+ji-q),

(28)

причем i=1,2,ј,n. Подставляя (28) в (20), будем иметь

n Х i=1 (cosai-sinai tg  ji)=1

(29)

   Полученное уравнение совместно с системой уравнений (27) в 2n-1-мерном пространстве параметров в принципе определяет уравнения гиперповерхности конечных напряжений.
   В случае составного трехклина, n=3, написав уравнения (19) при i=1,2,3 и полагая a₁=a, a₂=b, a₃=2p-(a+b), приходим к системе из трех уравнений относительно неизвестных j₁, j₂, j₃, которые вместе с уравнением

   Институт механики НАН РА
 
 

    1. Чобанян К.С. Напряжения в упругих составных телах. Ереван: Изд. АН Арм ССР, 1987. 338 с.
    2. Задоян М.А. Пространственные задачи теории пластичности. М.: Наука, 1992. 387 с.