ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 62-501.12
 

К. И. Караханян

Об одном способе интегрирования обыкновенных
однородных линейных дифференциальных
уравнений второго порядка и его приложениях

(Представлено академиком Л. А. Агаловяном 27/I 2000)

    Большое количество задач во многих областях науки и техники сводится к обыкновенным однородным линейным дифференциальным уравнениям второго порядка с переменными коэффициентами
yўў+2Gyў+Hy=0.
 (1)

    Решение ряда краевых задач математической физики, в частности теории упругости, выражаемых уравнениями с частными производными, с применением метода разделения переменных, как известно, также приводится к этим уравнениям.
   В качестве примера рассмотрим простейшую задачу поперечных свободных колебаний неоднородной струны. Смещение u(x,t) точки струны удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных

F0 2u(x,t)
x2
 =r(x)· 2u(x,t)
t2
 ,
(2)



где F0=const - сила натяжения, p(x) - линейная плотность в точке x. Представляя u(x,t) в виде произведения X(x)·T(t), после разделения переменных получим два уравнения типа (1):
Xўў(x)+J(x)·X(x)=0,       J(x)=l r(x)
F0
 ,
Tўў(t)+lT(t)=0
(3)

    Решение этих уравнений для произвольной r(x), при соответствующих граничных и начальных условиях, является, как известно, довольно трудной задачей.
    Хотя существует большое количество достаточно эффективных методов, нахождение решения основных уравнений в общем случае остается одной из актуальных проблем современной теории упругости, механики сплошной среды и вообще прикладной математики. Эти вопросы отражены во многих трудах, в частности [1-3], в которых приведена также обширная библиография.
    В данной статье предложен способ, позволяющий найти решение (1), предполагая лишь, что G(x) - непрерывно дифференцируемая, а H(x) - непрерывная функция от x в той области, в которой требуется проинтегрировать это уравнение. Эти условия, накладываемые на коэффициенты G(x) и H(x), не ограничивают общность предложенного способа, так как во многих прикладных задачах они удовлетворяются. В этом смысле способ можно считать общим.
    Из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что если найдено одно нетривиальное частное решение y1(x) уравнения (1), то в принципе его можно считать решенным, так как общий интеграл может быть найден при помощи квадратур

y=c1y1+c2y1 у
х 		e-2тGdx
y12
 dx,
 (4)

где c1 и c2 - произвольные постоянные.
   Хотя теория линейных дифференциальных уравнений является наиболее разработанной частью теории дифференциальных уравнений, в настоящее время не разработаны достаточно эффективные аналитические методы для определения y1(x) в конечном виде или даже при помощи квадратур при произвольных G(x) и H(x). Как известно, такой метод существует только для уравнений с постоянными коэффициентами.
    Перейдем к изложению сущности предложенного способа. Полагая

y=we-тGdx,
 (5)
получаем из (1) нормальную форму уравнения типа (3)

wўў+Jw=0 ,
J=H-G2-Gў,
(6)

где J=J(x) называется инвариантом уравнения (1). Эта функция остается неизменной при всех преобразованиях вида (5), и следовательно, ее можно принять за главную характеристику данного уравнения. Существование и непрерывность J(x) обеспечены вышеуказанными условиями, накладываемыми на коэффициенты H(x) и G(x).
   Выразим y1(x) через J(x). С этой целью введем вместо y1(x) новую искомую функцию u(x)

y1=ueт( [1/2]-G ) dx.
 (7)
    Подстановка в уравнение (1) дает
uўў+uў+ ж
и 		J+ 1
4
 ц
ш 		u=0 .
 (8)
    Частное решение уравнения (8) ищем в виде ряда [4]
u= Ґ
е
k=0 
 uk.
 (9)
Предполагая, что ряд (9) сходится равномерно, подставив в (8), получим
uўў0 +uў0 + u0
4
 + Ґ
е
k=0 
 ж
и 		uўўk+1+uўk+1+ uk+1
4
 +Juk ц
ш 		=0 .
(10)
    Подберем коэффициенты uk(x) ряда (9) так, чтобы

uўў0 +uў0 + u0
4
 =0,
                                        uўўk+1+uўk+1+ uk+1
4
 =-Juk,                                       k=0, 1, 2,ј
    Рассматривая второе уравнение как неоднородное и произведя интегрирование этого уравнения, для коэффициентов uk(x) получим рекуррентную формулу


u0=e-x/2,
   uk+1=-e-x/2 у
х 		ж
и 		у
х 		Jukex/2dx ц
ш 		dx=(-1)k+1e-x/2Tk+1,     k=0, 1, 2,ј
    Здесь введены новые коэффициенты Tk(x), которые определяются аналогичной рекуррентной формулой

T0=1,
    Tk+1= у
х 		ж
и 		у
х 		JTkdx ц
ш 		dx,                 k=0, 1, 2,ј
или
                                                        Tўўk+1 = JTk,                                                        k=0, 1, 2,ј
 (11)
    Тогда частное решение уравнения (8) будет представляться в виде ряда из коэффициентов Tk(x)
u=-e-x/2 Ґ
е
k=0 
 (-1)kTk.
 (12)
При этом предполагается, что ряд (12) сходится равномерно и существуют все входящие сюда интегралы.
    Подставив (12) в (7) и используя (5), легко найдем частные решения уравнений (1) и (6). Они, соответственно, будут иметь вид
y1=e-тGdx Ґ
е
k=0 
 (-1)kTk ,
 (13)


w1= Ґ
е
k=0 
 (-1)kTk .
(14)
    Будем считать, что рассматриваемый интервал содержит точку x=x0. Путем интегрирования в промежутке значения от x0 до переменного значения x, а также используя формулу Дирихле об изменении порядка интегрирования для Tk(x) из рекуррентной формулы (11), получим
T1(x)= x
у
х
xo 
 dx x
у
х
xo 
 J(t)dt= x
у
х
xo 
 J(t)dt x
у
х
t 
 dx= x
у
х
xo 
 (x-t)J(t)dt ,
T2(x)= x
у
х
xo 
 dx x
у
х
xo 
 J(t1)T1(t1)dt1= x
у
х
xo 
 (x-t1)J(t1)dt1 t1
у
х
xo 
 (t1-t)J(t)dt ,
Tk(x)= x
у
х
xo 
 (x-tk-1)J(tk-1)dtk-1 tk-1
у
х
xo 
 (tk-1-tk-2)J(tk-2)dtk-2ј t1
у
х
xo 
 (t1-t)J(t)dt .
(15)

    Таким образом, предложенный способ позволяет привести интегрирование всех уравнений типа (1) к повторным квадратурам, при произвольных G(x) и H(x). При этом задача интегрирования этих уравнений считается выполненной. Такой подход является вполне закономерным, поскольку для любой непрерывной функции всегда можно (точно или приближенно) найти квадратуру и тем самым полностью решить поставленную задачу, в частности задачу (3) при произвольной r(x).
    Отличие предложенного способа от существующих многочисленных методов заключается в том, что он является достаточно общим: не основывается на конкретных видах коэффициентов уравнения (1) и не предполагает каких-либо связей между ними, позволяет строить алгоритмы рекуррентного типа для этого уравнения, которые легко программируются на ЭВМ, а также провести нужную классификацию уравнений вида (1) по их инварианту, если это уравнение представить в виде

yўў+2Gyў+(J+G1+G2)y=0 .
 (16)
    Беря рекуррентную формулу (11) в виде
T0=1,      Tk+1(n)=JTk,      n=1,2,ј,   k=0,1,2,ј
легко показать, что способ позволяет найти также частное решение уравнения n-го порядка
U(n)+JU=0 .

    Если независимую переменную x, как при выводе формулы (15), ограничить в интервале (x0,x), то коэффициенты Tk(x) вместе со своими производными до (n-1)-го порядка обращаются в нули при x=x0. Поэтому при нахождении этих коэффициентов можно использовать формулу Коши, позволяющую n-кратный повторный интеграл преобразовать к одному интегралу по параметру. Тогда для Tk(x) получим


T1(x)= x
у
х
xo 
 dx x
у
х
xo 
 dxј x
у
х
xo 
 J(x)dx= x
у
х
xo 
 (x-t)n-1
(n-1)!
 J(t)dt ,
T2(x)= x
у
х
xo 
 (x-t1)n-1
(n-1)!
 J(t1)T1(t1)dt1= x
у
х
xo 
 (x-t1)n-1
(n-1)!
 J(t1)dt1 t1
у
х
xo 
 (t1-t)n-1
(n-1)!
 J(t)dt,
Tk(x)= x
у
х
xo 
 (x-tk-1)n-1
(n-1)!
 J(tk-1)dtk-1 tk-1
у
х
xo 
 (tk-1-tk-2)n-1
(n-1)!
 J(tk-2)dtk-2ј t1
у
х
xo 
 (t1-t)n-1
(n-1)!
 J(t)dt
    В качестве приложения предложенного способа решения дифференциальных уравнений приведем решения некоторых типов уравнения (1). Будем указывать для них выражения инварианта J(x), коэффициентов Tk(x) и частное решение y1(x) .


1.  yўў+2Gyў+(G2+Gў)y=0,   J=0,
                                        T0=1, Tk=0, при k і 1,
                                        y1=e-тGdx .
2.  yўў+2Gyў+(a+G2+Gў)y=0,  J=a=const,
                                       
Tk=		 akx2k
(2k)!
 , при k і 0,
y1=e-тGdx Ґ
е
k=0 
 (-1)k akx2k
(2k)!
 =e-тGdx     м
п
н
п
о
cosЦax,
при  a > 0
ch Цax,
при  a < 0
   К уравнениям этого типа относятся также дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, для которых корни характеристического уравнения различны, если J № 0, и кратные при J=0
3.  yўў+2Gyў+(a ebx+Gў+G2)y=0,   J=a ebx,
                        Tk= ak
(k!)2b2k
 ekbx  при k і 0,
y1=e-тGdx Ґ
е
k=0 
 (-1)k ak
(k!)2b2k
 ekbx=e-тGdxJ0 ж
з
и 		2 Цa
b
 e[bx/2] ц
ч
ш 		,   
J0 - функция Бесселя нулевого порядка.

4.  yўў+2Gyў+(axa+G2+Gў)y=0,   J=axa,
                       
a і 0,   Tk=		 (an2x[1/(n)])kG(1-n)
k!G(k-n+1)
 ,   n = 1
a+2
 ,   при k і 0,
                       
y1=		 Ґ
е
k=0 
 (-1)k (an2x[1/(n)])kG(1-n)
k!G(k-n+1)
 =Цxe-тGdx J-n(2Цanx[1/(2n)]).
   5. Общее уравнение Риккати
zў(x)=f(x)z2+g(x)z+h(x)
    подстановкой z=-[(yў)/fy] сводится к уравнению (1) с инвариантом
J=fh- 1
4
 ж
з
и 		fў
f
 +g ц
ч
ш 		2

 
 + 1
2
 ж
з
и 		fў
f
 +g ц
ч
ш 		ў
и, следовательно, может быть решено предложенным способом.
6.  yўў+2Gyў+(a+bxa+G2+Gў)y=0, J=a+bxa, a і 0.
    Решение этого уравнения при произвольных a неизвестно.
    В [5] приводится частный случай, когда G(x)=0; a = 2n; yўў=(a2x2n-1)y. В результате последовательного интегрирования получим
Tk= k
е
n=0 
 ak-nbn Tknxna+2k, при k і 0.

    Величины Tkn составляют левую треугольную матрицу
T00
T10
T11
Tk0
Tk1
Tk2
ј
Tkk

и определяются рекуррентными формулами
                                        Tk0= 1
(2k)!
   при k і 0,   a (0)!=1
        Tkn=  

Tk-1n+Tk-1n-1

й
к
л 		n
n
 +2(k-n) щ
ъ
ы 		й
к
л 		n
n
 +2(k-n)-1 щ
ъ
ы
  при k і 1,   при n і 1,   а   n = 1
a+2
  .
    Отсюда для k=1, 2, ј;  n=1,2,ј, k

Tkn=  

1

G й
к
л 		n
n
 +2(k-n)+1 щ
ъ
ы
k-n
е
j1=0 
G ж
з
и 		2j1-1+ 1
n
 ц
ч
ш
G(2j1+1)
ж
з
з
з
з
з
з
 и
 		 k-n
е
j2=j1 
G ж
з
и 		2j2-1+ 2
n
 ц
ч
ш
G ж
з
и 		2j2+1+ 1
n
 ц
ч
ш

ц
ч
ч
ч
ч
ч
ч
 ш
 		 ј
ј k-n
е
jn=jn-1 
G ж
з
и 		2jn-1+ n
n
 ц
ч
ш
G ж
з
и 		2jn+1+ n-1
n
 ц
ч
ш
 .
    Число членов в каждом элементе Tkn равно (k || n) , а в каждой строке матрицы - 2k , так что
k
е
n=0 
 ж
з
и 		k
n
 ц
ч
ш 		=2k  .
    Совместимость полученых результатов для Tkn легко показать, так как любую повторную сумму такого типа можно представить в виде


k-n
е
j1=0 
 a(j1)ј k-n
е
jn=jn-1 
 a(jn)
n 


 =

k-n-1
е
j1=0 
 a(j1)ј k-n-1
е
jn=jn-1 
 a(jn)
n 


 +a(k-n)

k-n
е
j1=0 
 a(j1)ј k-n
е
jn-1=jn-2 
 a(jn-1)
n-1 


 .
    Частным решением этого уравнения в общем случае будет ряд (13). Подробное исследование его сходимости и свойства при различных a и параметрах a и b - предмет отдельного рассмотрения.
    Выражаю благодарность С. М. Мхитаряну за обсуждение полученных результатов и ценные замечания.




    Военный институт МО РА
   Университет управления и информатики МОН РА



Литература

    1. В. З. Партон, П. И. Перлин. Методы математической теории упругости. М.: Наука. 1981.
    2. Л. И. Седов. Механика сплошной среды. Т. 1, 2. ФМ. 1983, 1984.
    3. Л. А. Агаловян. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек. М.: Наука. 1997.
    4. Э. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон. Курс современного анализа. Ч. 1. М.: Наука, 1963.
    5. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.