УДК 239.374

    Теоретические исследования прочности тела при различных условиях сводятся к решению задачи о состоянии тела с точки зрения малонапряженности или концентрации напряжений в угловой точке. Если тело не имеет концентрационных точек или концентраторов, то вопрос ограничивается обычным классическим методом вычисления границ прочности тела (материала). Однако особый интерес представляет состояние концентрации напряжений - ведь в реальных условиях в большинстве случаев технически невозможно избежать этого состояния. Возникает вопрос о вкладе концентрации напряжений в уменьшение запаса прочности тела, а также о зависимости его от геометрических и механических параметров концентратора. Есть некоторые работы в этом направлении [1-3]. Настоящая работа тоже выполнена для нахождения ответа на вышеуказанные вопросы, но только для частного случая - изгиба однородной плиты с концентратором. Для расчетов используется широко известный в строительной механике метод сечений [1].
   Пусть однородная плита с поперечным угловым вырезом (со входящей угловой выточкой, в частности со щелью) подвергается поперечному изгибу (рис. 1). Допускается степенной закон упрочнения материала s₀=ke₀^m .
    Согласно методу сечений нужно иметь решение в целом для изгиба такой плиты без входящей выточки, а также местное решение окрестности угловой точки выточки плиты [1,3]. Для решения первой задачи, т. е. решения в целом, берутся декартова система координат и классические приближения.

Рис. 1. Прочность плиты при концентрации напряжений.

    Для изгибающих моментов имеем:
 

Mx=Dk0m-1(kx+ 1 2 ky)   , My=Dk0m-1(ky+ 1 2 kx)   , Mxy= 1 2 Dk0m-1 kxy   ,

(1)

где   D= khm+2 m+2   ,          k0= Ц   kx2+kxky+ky2+kxy2     ,          kij=- ¶2w ¶x ¶y   .

(2)

    Изгибающие моменты выражаются через напряжения

sij(x, y, z)= Mij(x, y) 2I z/z/m-1 ,

    где h - толщина плиты и I= [1/(m+2)] ( [h/2] ) ^m+2 .

    Из системы уравнений равновесия получаем

¶2Mx ¶x2 +2 ¶2Mxy ¶x¶y + ¶2My ¶y2 =0  .

(3)

    Устанавливая выражения (1) для моментов в (3), получим

¶2 ¶x2 й к л k0m-1 ж з и kx+ 1 2 ky ц ч ш щ ъ ы +2 ¶2 ¶x ¶y [k0m-1 kxy]+ ¶2 ¶y2 й к л k0m-1 ж з и ky+ 1 2 kx ц ч ш щ ъ ы =0   .

(4)

    Учитывая, что k_y=0;   k_xy=0;   k₀= | k_x | и не зависят от y , т. е. перемещение w=w(x) , уравнение (4) примет следующую форму:

d2 dx2 [ | kx | m-1kx ]=0  .

(5)

    Решением этого уравнения является:

| kx | m-1kx=c0+c1x  .

(6)

    Учитывая следующие граничные условия:

Mx | x=±l=D | kx | m-1kx | x=±l=M0   и  wx | x=±l=0  ,

получим для номинального решения соответственно следующие выражения:
 

Mx=M0  ,     My= M0 2  , sx= M0 2I z | z | m-1  ,     sy= M0 4I z | z | m-1  , w= 1 2 ж з и M0 D ц ч ш [1/m]   (l2-x2)  .

(7)

    А теперь рассмотрим местное решение согласно [4], полученное в цилиндрической системе (r, q, z) координат.
    Согласно нашей задаче материал несжимаем и упрочняем по степенному закону:

Ç s0   =k Ç e0m    ,       Ç er   + Ç eJ   + Ç ez   =0  .

    Для местного решения используется уточненная теория. Компоненты моментов будут:

Ç Mr   =Ak Ç I   r(l-1)m й к л ж з и l 2 +1 ц ч ш j+ 1 2 fў щ ъ ы c , Ç MJ   =Ak Ç I   r(l-1)m й к л ж з и l 2 +1 ц ч ш j+fў щ ъ ы c , Ç MrJ   =A 1 4 k Ç I   r(l-1)m[ fў+( l-1 ) f] c , Ç Qr   =Ak Ç J   r(l-1)m+1[ f+( l+1 ) f ] c , Ç QJ   =Ak Ç J   r(l-1)m+1[ fў+f] c ,

(8)

где c = ( Ц{j^ў2+(l+2 ) jfў+( l²+l+1 ) j²+[1/4] [ jў+( l-1 ) f]²} )^m-1,  j  и f  есть функции напряжений, а A неопределенная постоянная (коэффициент) [4].
    При малых r , т. е. для малой окрестности нашей угловой точки, имеем

Ç I   » hm+2 m+2  ,       Ç J   » hm m  .