МЕХАНИКА


УДК 239.374

Г. В. Геворкян

Прочность плиты при концентрации напряжений

(Представлено академиком М. А. Задояном 9/II  2000)

    Теоретические исследования прочности тела при различных условиях сводятся к решению задачи о состоянии тела с точки зрения малонапряженности или концентрации напряжений в угловой точке. Если тело не имеет концентрационных точек или концентраторов, то вопрос ограничивается обычным классическим методом вычисления границ прочности тела (материала). Однако особый интерес представляет состояние концентрации напряжений - ведь в реальных условиях в большинстве случаев технически невозможно избежать этого состояния. Возникает вопрос о вкладе концентрации напряжений в уменьшение запаса прочности тела, а также о зависимости его от геометрических и механических параметров концентратора. Есть некоторые работы в этом направлении [1-3]. Настоящая работа тоже выполнена для нахождения ответа на вышеуказанные вопросы, но только для частного случая - изгиба однородной плиты с концентратором. Для расчетов используется широко известный в строительной механике метод сечений [1].
   Пусть однородная плита с поперечным угловым вырезом (со входящей угловой выточкой, в частности со щелью) подвергается поперечному изгибу (рис. 1). Допускается степенной закон упрочнения материала s0=ke0m .
    Согласно методу сечений нужно иметь решение в целом для изгиба такой плиты без входящей выточки, а также местное решение окрестности угловой точки выточки плиты [1,3]. Для решения первой задачи, т. е. решения в целом, берутся декартова система координат и классические приближения.

   


Рис. 1. Прочность плиты при концентрации напряжений.

    Для изгибающих моментов имеем:
 
Mx=Dk0m-1(kx+ 1
2
ky)   ,

My=Dk0m-1(ky+ 1
2
kx)   ,

Mxy= 1
2
Dk0m-1 kxy   ,
(1)
где   D= khm+2
m+2
  ,

         k0=
Ц
 

kx2+kxky+ky2+kxy2
 
  ,

         kij=- 2w
x y
  .

(2)

    Изгибающие моменты выражаются через напряжения

sij(x, y, z)= Mij(x, y)
2I
z/z/m-1 ,
    где h - толщина плиты и I= [1/(m+2)] ( [h/2] ) m+2 .

    Из системы уравнений равновесия получаем

2Mx
x2
+2 2Mxy
xy
+ 2My
y2
=0  .

(3)
    Устанавливая выражения (1) для моментов в (3), получим

2
x2
й
к
л
k0m-1 ж
з
и
kx+ 1
2
ky ц
ч
ш
щ
ъ
ы
+2 2
x y
[k0m-1 kxy]+ 2
y2
й
к
л
k0m-1 ж
з
и
ky+ 1
2
kx ц
ч
ш
щ
ъ
ы
=0   .

(4)

    Учитывая, что ky=0;   kxy=0;   k0= | kx | и не зависят от y , т. е. перемещение w=w(x) , уравнение (4) примет следующую форму:

d2
dx2
[ | kx | m-1kx ]=0  .

(5)
    Решением этого уравнения является:
| kx | m-1kx=c0+c1x  .
(6)
    Учитывая следующие граничные условия:

Mx | x=±l=D | kx | m-1kx | x=±l=M0   и  wx | x=±l=0  ,

получим для номинального решения соответственно следующие выражения:
 
Mx=M0  ,     My= M0
2
 ,

sx= M0
2I
z | z | m-1  ,     sy= M0
4I
z | z | m-1  ,

w= 1
2
ж
з
и
M0
D
ц
ч
ш
[1/m]

 
(l2-x2)  .

(7)
    А теперь рассмотрим местное решение согласно [4], полученное в цилиндрической системе (r, q, z) координат.
    Согласно нашей задаче материал несжимаем и упрочняем по степенному закону:
Ç
s0
 
=k Ç
e0m
 
 ,       Ç
er
 
+ Ç
eJ
 
+ Ç
ez
 
=0  .
    Для местного решения используется уточненная теория. Компоненты моментов будут:

Ç
Mr
 
=Ak Ç
I
 
r(l-1)m й
к
л
ж
з
и
l
2
+1 ц
ч
ш
j+ 1
2
fў щ
ъ
ы
c ,

Ç
MJ
 
=Ak Ç
I
 
r(l-1)m й
к
л
ж
з
и
l
2
+1 ц
ч
ш
j+fў щ
ъ
ы
c ,

Ç
MrJ
 
=A 1
4
k Ç
I
 
r(l-1)m[ fў+( l-1 ) f] c ,

Ç
Qr
 
=Ak Ç
J
 
r(l-1)m+1[ f+( l+1 ) f ] c ,

Ç
QJ
 
=Ak Ç
J
 
r(l-1)m+1[ fў+f] c ,

(8)
где c = ( Ц{jў2+(l+2 ) jfў+( l2+l+1 ) j2+[1/4] [ jў+( l-1 ) f]2} )m-1,  j  и f  есть функции напряжений, а A неопределенная постоянная (коэффициент) [4].
    При малых r , т. е. для малой окрестности нашей угловой точки, имеем
Ç
I
 
» hm+2
m+2
 ,       Ç
J
 
» hm
m
 .

   

Рис. 2. Графики зависимости l от угла выточки (2p-2a) при разных m.
Графики получены путем решения системы дифференциальных уравнений
второго порядка из [4] численным методом.

    На рис. 2 изображены графики зависимости l от угла выточки при разных m, полученные путем решения системы дифференциальных уравнений второго порядка из [4] численным методом.
    Имея номинальное (7) и местное (8) решения, согласно методу сечений получим

Ç
MJ
 
(r0 , 0)=Mx ( x | x=a , y | y=r0+r )=M0  ,

ro
у
х
0 
Ç
MJ
 
(r , 0) dr= rо+ro
у
х
0 
Mx(a, y) dy = M0 ·(r0+r0)  .

(9)
    Подставляя выражения местных решений (8) в (9) , получим

r0=r0 ж
з
и
1
(1-l)m
-1 ц
ч
ш
 ,

Ak Ç
I
 
= M0
й
к
л
ж
з
и
l
2
+1 ц
ч
ш
j(0 , l)+fў(0 , l) щ
ъ
ы
c(0 , l)
й
к
л
r0 ж
з
и
1
(1-l)m
-1 ц
ч
ш
щ
ъ
ы
(1-l)m

 
 ,

(10)
    Выражения для [ \frown || (Mq )] (r , J) напишем в следующих выражениях:

Ç
Mq
 
(r , J)= M0
й
к
л
r0 ж
з
и
1
(1-l)m
-1 ц
ч
ш
щ
ъ
ы
(l-1)m

 
r(l-1)m  ×

× 
й
к
л
ж
з
и
l
2
+1 ц
ч
ш
j (J, l) +fў(J, l) щ
ъ
ы
c(J, l)

й
к
л
ж
з
и
l
2
+1 ц
ч
ш
j (0, l) +fў(0, l) щ
ъ
ы
c(0, l)
  .

(11)
    После введения обозначений

N= M0
й
к
л
r0 ж
з
и
1
(1-l)m
-1 ц
ч
ш
щ
ъ
ы
(l-1)m

 
(12)
    перепишем выражения (11) в форме
Ç
Mq
 
(r , J)=Nr(l-1)mF(J)  ,
(13)
      где   

F(q)= [([ ( [(l)/2] +1 ) j (J, l) +fў(J, l) ] c(J, l))/([ ( [(l)/2] +1 ) j (0, l) +fў(0, l) ] c(0, l))] .

    Из (13) видно, что N есть аналог коэффициента интенсивности напряжений из [1,3]. Поэтому назовем N коэффициентом интенсивности моментов. На рис. 3 изображены графики зависимости соотношения коэффициента интенсивности и разрушающего номинального момента (обозначен звездочкой) от угла выточки из формулы (12) при разных глубинах выточки и  m .

   

Рис. 3. Зависимость соотношения коэффициента интенсивности
и разрушающего номинального момента от угла выточки.

Для местных разрушающих моментов (обозначены звездочкой) в окрестности угловой точки на линии x=0 или же J = 0 из (12) получим

Ç
M
 
*

q 
(r , 0)= M0*
й
к
л
1
(1-l)m
-1 щ
ъ
ы
(l-1)m

 
ж
з
и
r
ro
ц
ч
ш
(l-1)m

 
 .

(14)

    Из формулы (14) видно, как будут вести себя значения моментов по мере приближения к концентрационной точке по линии y=a. На рис. 4 изображены графики зависимости соотношения местного разрушающего момента на линии J=0 и номинального разрушающего момента от соотношения расстояний от концентратора и глубины выточки при ее разных углах и m.
    Из вышеприведенных формул видно, что экспериментально можно получить значения l, которые зависят от угла входящей выточки и которые можно сверить с теоретическими расчетами.

   

Рис. 4. Зависимость соотношения местного разрушающего момента
на линии J=0 и номинального разрушающего момента от соотношения
расстояния от концентратора и глубины выточки при ее разных углах и m.

    Автор благодарит М. А. Задояна за обсуждения и ценные замечания об этой работе.

    Институт механики НАН РА



Литература

    1. Партон В. З., Морозов В. М. Механика упругопластического разрушения. М.: Наука, 1992.
    2. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений. Т. 1-2. Под ред. Ю. Мураками. М.: Мир, 1990.
    3. Задоян М. А.- ПМТФ. 1997. Т. 38, N 6.
    4. Задоян М. А.- ДНАН Армении. 1998. Т. 98, N 4. С. 269-273.