МАТЕМАТИКА
УДК 517.95.25

Г. В. Даллакян

Аппроксимация решений полуэллиптического уравнения в Rn
решениями граничных задач в обобщенном шаре большого радиуса

(Представлено академиком Г. Е. Багдасаряном 11/VIII 1999)

    Пусть Rn -n-мерное евклидово пространство точек с вещественными координатами, N n0 - множество n-мерных мультииндексов, т.е. векторов a = (a1,ј,an) с целыми неотрицательными компонентами, m=(m1,ј,mn) - вектор с натуральными компонентами, m = (m1,ј,mn)=([1/(m1)],ј,[1/(mn)]),
                      n

| m | = е mj,m0=min1 ЈjЈnmj . Если xОRn, Nn0, то положим
           j=1

 
(m,a) =  n
е
j=1
mjaj, | x | m= ж
и
n
е
j=1
| xj | 2/mj ц
ш
1/ 2
,
xa = (xa11,ј, xann), Da=Da11јDann, Dj= 1
i

xj
, j=1,ј,n.

   Пусть P(D)-линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, символ P(x) которого представлен в виде
P(x)=P0(x)+P1(x)=
е
(m,a)=2
gaxa+
е
(m,a) < 2
gaxa.
(1)
   Определение. Оператор P(D) называется полуэллиптическим (см.[1]), если существует число c > 0 такое, что
| P0(x) | і c ж
и
| x1 | 2/m1+ј+ | xn | 2/mn ц
ш
, "x ОRn.
   Для любой области Rn обозначим через Hsm(W) анизотропное соболевское пространство функций с конечной нормой
||u||Hsm(W)=||u||L2(W)+ n
е
i=1
||Dsmiiu||L2(W)
(2)
                                                                                                             0
Замыкание множества CҐ0(W) по норме (2) обозначим через HsmW.
   Пусть P=P(D) - полуэллиптический оператор вида (1)(т.е. m порядка 2) и Q=Q(x,D) - дифференциальный оператор m - порядка не выше 2 с гладкими коэффициентами, равными нулю вне m - шара Ba,m={xОRn; | x | m < a}.
   Будем рассматривать в Rn полуэллиптическое уравнение
(P+Q)u = f
(3)
В [2] это уравнение рассмотрено при условии P(e) 0,"e ОRn.Там же доказано, что если f ОL2(Rn), то существует единственное стремящиеся к 0 при
| x | m®Ґ решение uОH2m (Rn) уравнения (3). Кроме того, в (2) доказано, что если f ОL2,a(Rn) (т.е. f ОL2(Rn) при | x | m > a), то для любого s іa краевая задача
(P+Q)us(x)=f(x), xОBs,m,
(4)
0
      usОHsmW(Bs,m)
(5)
                                                            0
имеет единственное решение usОHm(Bs,m)ЗH2m(Bs,m), при этом выполняется неравенство
||u-us||Hm(Bs, m)Јce-g1sm()s1+[( | m | - m0)/2]||f||L2,a(Rn)ў
(6)
где c,g1 положительные постоянные, не зависящие от f и s.
   Цель настоящей статьи - получить результаты такого типа в случае
P(x) 0,x О Rn\{0}, P(0)=0
(7)
Отметим, что для эллиптических уравнений подобная задача решена Л. Шимоном(см. (30)).
   Представим оператор P(D) в виде суммы m-однородных (обобщенно однородных [4]) многочленов
P(D)= M
е
j=l
Pj(D) є M
е
j=l

е
(m,a)=dj
ga Da,
(8) 
где 2=dm > dM-1 > ј > d1 і 0.
Имеют место следующие леммы.

    Лемма 1.   Пусть оператор (8) полуэллиптичен и удовлетворяет условию (7), Pl(x) 0, "x ОRn\{0}, dl < | m | . Тогда P(D) имеет единственное фундаментальное решение E, удовлетворяющее условию
DaE(x)=O ж
з
и
1
| x | | m | - d1+(m,a)m
ц
ч
ш
,     | x | m®Ґ.

    Лемма 2.    Пусть оператор (8) удовлетворяет условиям леммы 1, f ОL2,a(Rn). Тогда уравнение
P(D)u=f
(9)
имеет сходящееся к нулю при | x | m®Ґ решение, притом единственное (u(x)=O([1/( | x | | m | - d1m )] )). Это решение имеет вид u=E*f, где Е - фундаментальное решение P из леммы 1 и для любого компакта K МRn имеет место неравенство
||u||L2(K)Јc(K) ||f||L2,a(Rn).
   Для случая | m | > 2d1 можно получить более точную оценку, а именно справедлива следующая

   Лемма 3.    Пусть оператор P(D) удовлетворяет условиям леммы 1, | m | > 2d1 и f О L1(Rn)ЗL2(Rn). Тогда уравнение (9) имеет одно, и только одно, решение u ОH2mRn(решение единственно также в L2(Rn)), при этом
||u||H2m(Rn)Јc[||f||L1(Rn)+||f||L1(Rn)]
   Рассмотрим задачу Дирихле
P(D)us=f   в    Bs,m,
(10)
Dnjjus | Ss, m=0, j=1,ј,n, nj=0,1,ј,mj-1,
(11)
где Ss,m={xОRn; |x|m=s}(m- сфера).

   Теорема 1.    Пусть m - однородный оператор P(D) вида (8) удовлетворяет условиям леммы 2. Задача (10), (11) для s = 1 и произвольной fОL2,1(Rn) имеет единственное решение u1 ОH2m(B1,m) (см. [5]). Тогда задача (10),(11) имеет решение, притом единственное, u1ОH2m(Bs,m), для всех s > a и f ОL2,a(Rn). Более того, разность us и решения и уравнения (9) при достатояно больших s может быть оценена следующим образом:
||Dbu-Dbus||L2(Bs,m)Ј c
s[(|m|)/2]-1+(m,b)
||f||L2,a(Rn); (m,b) Ј 1,
кроме того, если m0 > mi/2 (i=1,ј,n), то для любого компакта K М Rn и (m,t) Ј 2

sup
K
|Dtu-Dtus c(K)
s|m|-2+(m,t)
||f||L2,a(Rn).
   В случае, когда оператор P(D) не является m-однородным, получается следующий результат:

   Теорема 2.    Пусть оператор (8) удовлетворяет условиям леммы 3. Многочлен P(x) имеет вид
P(x)=
е
[((m,a) Ј 1) || ((m,b) Ј 1)]
ga,bxa+b,
где ga,bОR1, и для любого комплексного вектора (z0,ј,za,ј) 0 имеют место следующие неравенства:

е
[((m,a) = 1) || ((m,b) = 1)]
ga,bza
z

b
> 0, 
е
[((m,a) < 1) || ((m,b) < 1)]
ga,bza
z

b
і 0.
Тогда для любых f О L1(Rn)ИL2(Rn) и s > 0 задача (10), (11) имеет единственное решение us ОH2m(Bs,m), при этом, если m0 > mi/2(i=1,ј,n), то для любого компакта K М Rn

sup
K
|Dtu-Dtus c(K)
s[(|m|)/2]-2-d1+(m,t)
[||f||L1(Rn)+ ||f||L1(Rn)],
где t ОNn0, (m,t) Ј 2.

    Следствие.    Из теорем 1,2 следует, что если |m| > 2 и (m,t) Ј 2, то

lim
s®Ґ
||u-us||Hm(Bs,m)=0,

lim
s®Ґ

sup
K
|Dtu-Dtus|=0.
   Рассмотрим уравнение
P(D)u+lQ(x,D)u=f,
(12)
где P=P(D) - оператор (8), Q=Q(x,D) - линейный дифференциальный оператор m - порядка не выше 2 с гладкими коэффициентами, которые равняются нулю при |x|mіa, l - комплексный параметр, fОL2,a(Rn).
    Ясно, что если |l| достаточно мало, то P+lQ полуэллиптичен. Обозначим через D множество всех значений l, при которых оператор P+lQ полуэллиптичен. Очевидно, D открыто. Связное подмножество множества D, которое содержит точку l = 0, обозначим через D 0. Нетрудно заметить, что если m - порядок оператора Q(x,D) меньше 2, то D 0 совпадает со всей комплексной плоскостью l.
   В (6) доказано, что если D0, то индекс уравнения (12) равен нулю. Крроме того, если l ОD 0\D 1, где D - некоторое счетное множество, то для любой f ОL2(Rn) уравнение (12) имеет единственное, равное нулю в бесконечности решение uОH2m(Rn).    Наконец рассмотрим следующую задачу Дирихле:
P(D)us+lQ(x,D)us=f в Bs,m,
(13)
Dnjjus|Ss,m=0, j=1,ј,n, nj=0,1,ј,mj-1.
(14)

    Теорема 3.    Пусть P(D) удовлетворяет условиям теоремы 2, а Q(x,D) - вышеперечисленным условиям, l ОD \D 1 - фиксированное число. Тогда существует число s0 > 0 такое, что для всех s іs0 и f ОL2,a(Rn) задача (13), (14) имеет единственное решение usОH2m(Bs,m) выполняются неравенства
 
 
||u-us||H2m(K)Ј c3(K)
s|m|-2
||f||L2,a(Rn)ў.
||u-us||Hm(Bdsm)Ј c4
s[(|m|)/2]-1
||f||L2,a(Rn).

    Теорема 4.    Пусть P(D) удовлетворяет условиям теоремы 2, а Q(x,D) - вышеперечисленным условиям, l О0\D 1 - фиксированное число. Тогда существует число s0 > 0 такое, что для всех s іs0 и f ОL2,a(Rn) задача (13), (14) имеет единственное решение usОH2m(Bs,m) и для любого компакта K М Rn
||u-us||H2m(K)Ј c3ў(K)
s[(|m|)/2]-2-d1
||f||L2,a(Rn)ў.

Ереванский государственный университет
 
 
 

Литература

   1. Хермандер Л. Линейные диференциальные операторы с частными производными. М.; Мир, 1965.
   2. Даллакян Г.В. - Уч. зап. ЕГУ. 2000. № 1
   3. Simon L.. - Ann.sectio math. 1984. №  16. P. 241-256.
   4. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения., - М.: Наука 1975.
   5. Мосолов П.П., - Мат. сборник. 1961: Т.55(97). №  13. С. 307-328
   6. Карапетян Г.А., Даллакян Г.В. - Изв. НАН Армении. Математика. 1999. Т. 35. №  5 С.