Пусть Rⁿ -n-мерное евклидово пространство точек с вещественными координатами, N ⁿ₀ - множество n-мерных мультииндексов, т.е. векторов a = (a₁,ј,a_n) с целыми неотрицательными компонентами, m=(m₁,ј,m_n) - вектор с натуральными компонентами, m = (m₁,ј,m_n)=([1/(m₁)],ј,[1/(m_n)]),
                      n

   Пусть P(D)-линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, символ P(x) которого представлен в виде

P(x)=P0(x)+P1(x)= е (m,a)=2 gaxa+ е (m,a) < 2 gaxa.

(1)

   Определение. Оператор P(D) называется полуэллиптическим (см.[1]), если существует число c > 0 такое, что

| P0(x) | і c ж и | x1 | 2/m1+ј+ | xn | 2/mn ц ш , "x ОRn.

   Для любой области WМRⁿ обозначим через H^sm(W) анизотропное соболевское пространство функций с конечной нормой

||u||Hsm(W)=||u||L2(W)+ n е i=1 ||Dsmiiu||L2(W)

(2)

                                                                                                             0
Замыкание множества C^Ґ₀(W) по норме (2) обозначим через H^smW.
   Пусть P=P(D) - полуэллиптический оператор вида (1)(т.е. m порядка 2) и Q=Q(x,D) - дифференциальный оператор m - порядка не выше 2 с гладкими коэффициентами, равными нулю вне m - шара B_a,m={xОRⁿ; | x | _m < a}.
   Будем рассматривать в Rⁿ полуэллиптическое уравнение

(P+Q)u = f

(3)

В [2] это уравнение рассмотрено при условии P(e) № 0,"e ОRⁿ.Там же доказано, что если f ОL₂(Rⁿ), то существует единственное стремящиеся к 0 при
| x | _m®Ґ решение uОH^{2m (Rn)} уравнения (3). Кроме того, в (2) доказано, что если f ОL_2,a(Rⁿ) (т.е. f ОL₂(Rⁿ) при | x | _m > a), то для любого s іa краевая задача

(P+Q)us(x)=f(x), xОBs,m,

(4)

0       usОHsmW(Bs,m)

(5)

                                                            0
имеет единственное решение u_sОH^m(B_s,m)ЗH^2m(B_s,m), при этом выполняется неравенство

||u-us||Hm(Bs, m)Јce-g1sm()s1+[( | m | - m0)/2]||f||L2,a(Rn)ў

(6)

где c,g₁ положительные постоянные, не зависящие от f и s.
   Цель настоящей статьи - получить результаты такого типа в случае

P(x) № 0,x О Rn\{0}, P(0)=0

(7)

Отметим, что для эллиптических уравнений подобная задача решена Л. Шимоном(см. (30)).
   Представим оператор P(D) в виде суммы m-однородных (обобщенно однородных [4]) многочленов

P(D)= M е j=l Pj(D) є M е j=l е (m,a)=dj ga Da,

(8)

где 2=d_m > d_M-1 > ј > d₁ і 0.
Имеют место следующие леммы.

    Лемма 1.   Пусть оператор (8) полуэллиптичен и удовлетворяет условию (7), P_l(x) № 0, "x ОRⁿ\{0}, d_l < | m | . Тогда P(D) имеет единственное фундаментальное решение E, удовлетворяющее условию

DaE(x)=O ж з и 1 | x | | m | - d1+(m,a)m ц ч ш ,     | x | m®Ґ.

    Лемма 2.    Пусть оператор (8) удовлетворяет условиям леммы 1, f ОL_2,a(Rⁿ). Тогда уравнение

P(D)u=f

(9)

имеет сходящееся к нулю при | x | m®Ґ решение, притом единственное (u(x)=O([1/( | x | | m | - d1m )] )). Это решение имеет вид u=E*f, где Е - фундаментальное решение P из леммы 1 и для любого компакта K МRn имеет место неравенство

||u||L2(K)Јc(K) ||f||L2,a(Rn).

   Для случая | m | > 2d₁ можно получить более точную оценку, а именно справедлива следующая

   Лемма 3.    Пусть оператор P(D) удовлетворяет условиям леммы 1, | m | > 2d₁ и f О L₁(Rⁿ)ЗL₂(Rⁿ). Тогда уравнение (9) имеет одно, и только одно, решение u ОH^2mRⁿ(решение единственно также в L₂(Rⁿ)), при этом

||u||H2m(Rn)Јc[||f||L1(Rn)+||f||L1(Rn)]

   Рассмотрим задачу Дирихле

P(D)us=f   в    Bs,m,

(10)

Dnjjus | Ss, m=0, j=1,ј,n, nj=0,1,ј,mj-1,

(11)

где S_s,m={xОRⁿ; |x|_m=s}(m- сфера).

   Теорема 1.    Пусть m - однородный оператор P(D) вида (8) удовлетворяет условиям леммы 2. Задача (10), (11) для s = 1 и произвольной fОL_2,1(Rⁿ) имеет единственное решение u₁ ОH^2m(B_1,m) (см. [5]). Тогда задача (10),(11) имеет решение, притом единственное, u₁ОH^2m(B_s,m), для всех s > a и f ОL_2,a(Rⁿ). Более того, разность u_s и решения и уравнения (9) при достатояно больших s может быть оценена следующим образом:

||Dbu-Dbus||L2(Bs,m)Ј c s[(|m|)/2]-1+(m,b) ||f||L2,a(Rn); (m,b) Ј 1,

кроме того, если m₀ > m_i/2 (i=1,ј,n), то для любого компакта K М Rⁿ и (m,t) Ј 2

sup K |Dtu-Dtus|Ј c(K) s|m|-2+(m,t) ||f||L2,a(Rn).

   В случае, когда оператор P(D) не является m-однородным, получается следующий результат:

   Теорема 2.    Пусть оператор (8) удовлетворяет условиям леммы 3. Многочлен P(x) имеет вид

P(x)= е [((m,a) Ј 1) || ((m,b) Ј 1)] ga,bxa+b,

где g_a,bОR¹, и для любого комплексного вектора (z₀,ј,z_a,ј) № 0 имеют место следующие неравенства:

е [((m,a) = 1) || ((m,b) = 1)] ga,bza z b > 0,  е [((m,a) < 1) || ((m,b) < 1)] ga,bza z b і 0.

Тогда для любых f О L₁(Rⁿ)ИL₂(Rⁿ) и s > 0 задача (10), (11) имеет единственное решение u_s ОH^2m(B_s,m), при этом, если m₀ > m_i/2(i=1,ј,n), то для любого компакта K М Rⁿ

sup K |Dtu-Dtus|Ј c(K) s[(|m|)/2]-2-d1+(m,t) [||f||L1(Rn)+ ||f||L1(Rn)],

где t ОNⁿ₀, (m,t) Ј 2.

    Следствие.    Из теорем 1,2 следует, что если |m| > 2 и (m,t) Ј 2, то

lim s®Ґ ||u-us||Hm(Bs,m)=0, lim s®Ґ sup K |Dtu-Dtus|=0.

   Рассмотрим уравнение

P(D)u+lQ(x,D)u=f,

(12)

где P=P(D) - оператор (8), Q=Q(x,D) - линейный дифференциальный оператор m - порядка не выше 2 с гладкими коэффициентами, которые равняются нулю при |x|_mіa, l - комплексный параметр, fОL_2,a(Rⁿ).
    Ясно, что если |l| достаточно мало, то P+lQ полуэллиптичен. Обозначим через D множество всех значений l, при которых оператор P+lQ полуэллиптичен. Очевидно, D открыто. Связное подмножество множества D, которое содержит точку l = 0, обозначим через D ₀. Нетрудно заметить, что если m - порядок оператора Q(x,D) меньше 2, то D ₀ совпадает со всей комплексной плоскостью l.
   В (6) доказано, что если lОD₀, то индекс уравнения (12) равен нулю. Крроме того, если l ОD ₀\D ₁, где D - некоторое счетное множество, то для любой f ОL₂(Rⁿ) уравнение (12) имеет единственное, равное нулю в бесконечности решение uОH^2m(Rⁿ).    Наконец рассмотрим следующую задачу Дирихле:

P(D)us+lQ(x,D)us=f в Bs,m,

(13)

Dnjjus|Ss,m=0, j=1,ј,n, nj=0,1,ј,mj-1.

(14)

    Теорема 3.    Пусть P(D) удовлетворяет условиям теоремы 2, а Q(x,D) - вышеперечисленным условиям, l ОD \D ₁ - фиксированное число. Тогда существует число s₀ > 0 такое, что для всех s іs₀ и f ОL_2,a(Rⁿ) задача (13), (14) имеет единственное решение u_sОH^2m(B_s,m) выполняются неравенства
 
 

||u-us||H2m(K)Ј c3(K) s|m|-2 ||f||L2,a(Rn)ў. ||u-us||Hm(Bdsm)Ј c4 s[(|m|)/2]-1 ||f||L2,a(Rn).

    Теорема 4.    Пусть P(D) удовлетворяет условиям теоремы 2, а Q(x,D) - вышеперечисленным условиям, l ОD  ₀\D ₁ - фиксированное число. Тогда существует число s₀ > 0 такое, что для всех s іs₀ и f ОL_2,a(Rⁿ) задача (13), (14) имеет единственное решение u_sОH^2m(B_s,m) и для любого компакта K М Rⁿ

||u-us||H2m(K)Ј c3ў(K) s[(|m|)/2]-2-d1 ||f||L2,a(Rn)ў.

Ереванский государственный университет
 
 
 

   1. Хермандер Л. Линейные диференциальные операторы с частными производными. М.; Мир, 1965.
   2. Даллакян Г.В. - Уч. зап. ЕГУ. 2000. № 1
   3. Simon L.. - Ann.sectio math. 1984. №  16. P. 241-256.
   4. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения., - М.: Наука 1975.
   5. Мосолов П.П., - Мат. сборник. 1961: Т.55(97). №  13. С. 307-328
   6. Карапетян Г.А., Даллакян Г.В. - Изв. НАН Армении. Математика. 1999. Т. 35. №  5 С.